淋雨量建模问题

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1、淋雨量建模问题摘要生活中，我们常常遇到过这样的问题，我们走在路上，突然下起雨来，而目的地离我们并不远，我们并不准备避雨。所以我们就遇到一个问题，到底应该怎么走才能减少淋雨量呢？在平常情况下，大多数人都会奔跑前行。但是，这样真的能够减少淋雨量吗?1.问题叙述一个雨天，你有件急事需要从家中要从家中到学校去，学校离家仅1000米，而且情况紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。如果刚刚出发雨就下起来了，但你不打算再回去了，一路上，你将被雨水淋湿。一个似乎很简单事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨时间和淋雨量。事实是不是如此呢？试组建数学建模来探讨雨中行

2、走的策略，以尽量减少淋雨量。二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。主要影响因素：降雨的大小，降雨的方向，路程的远近，行走的速度三.模型假设即符号说明1.将人体简化成一个长方体，高a，宽b，厚c淋雨量（V）降雨量（ω）人体淋雨面积（S）淋浴时间（t）时间（t）跑步距离（d）人跑步速度（v）跑步最大速度（vm）雨速（u）2.假设降雨大小为一定值；3.速度一定，人的运动轨迹为直线：4.风速保持不变四．模型建立与求解：（一）设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨

3、中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量：V＝ω×S×d/v（二）.若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量.（如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为.，且0°<<90°，建立a，b，c，d，u，，之间的关系，取高a=1.5m，宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为且方向与v相反故人相对于雨的水平速度为：则前部单位时间单位面积淋雨量为：又因为前部的淋雨面积为：，时间为：d/

4、v于是前部淋雨量V2为：即：①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且与v无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为，顶部面积为，淋雨时间为，于是顶部淋雨量为：②由①②可算得总淋雨量:代入数据求得：由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（）两者有关。对函数V（v）求导，得：显然：<0，所以V为v的减函数，V随v增大而减小。因此，速度v=vm=5m/s，总淋雨量最小。（三）若雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和后部淋雨量.（如图2）设雨从背部吹来时与人体夹角为

5、，且0°＜﹤90°,建立a，b，c，d，u，，之间的关系为：（1）、先考虑顶部淋雨量：当雨从背面吹来，而对于人顶部的淋雨量V1，它与模型①中一样，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：（2）、后部淋雨量：人相对于雨的水平速度为：从而可得，人背部单位时间单位面积淋雨量为：可得人背部淋雨量为：而总淋雨量：V=V1＋V3从而有：③化简③式得：④代入相关数据化简得：⑤由V（v)函数可知：总淋雨量（V）与人跑步的速度（v）以及雨线与人的夹角（）两者有关。（Ⅰ）、当时，且0°＜﹤90°，可得：ccosα＋asinα>0对⑤式求导，易知<0；所以，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减

6、少，因此，总淋雨量最小。（Ⅱ）、当v>usinα时，且0°＜α﹤90°，对⑤式求导，解得：总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而增加，所以，当速度（v）取最小，即v=usinα总淋雨量最小。五、结果分析：1.如果雨是迎着你的前进方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑。2.如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走速度，让他刚好等于落雨速度的水平分速度。