谈无理方程的解法

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1、谈无理方程的解法宿城区中扬中学张家旭根号下含有未知数的方程叫无理方程。解无理方程的指导思想是通过乘方把无理方程转化为有理方程。由于在乘方过程中扩大了方程中未知数的取值范围，可能会产生增根，所以，解无理方程一定要验根，验根是必不可少的步骤。但对一些特殊的方程可考虑用特殊的方法来解，比较方便。现将解无理方程的基本方法和几种特殊方法归纳如下，供参考。一、观察法例1、解方程解：无论x取什么值时，恒为正，而恒为负，矛盾。所以，此方程无解。例2、解方程解：根据算术根的定义，要保证有意义，必须要x≤3，而要使有意义，必须要使x≥5，这显然矛盾。所以，原方程无解。例3、解方程解：要使有意义，x≥

2、8，要使有意义，x≤3，显然不存在同时满足这两个条件的x值。故此方程无解。例4、解方程分析：这个方程的特点是：左边两个根号下的被开方式的和等于右边根号下的被开方式。所以，由观察可得其解。解：原方程可化为由观察得x=7或者x=9显然x=9是增根。所以，原方程的解为x=7。注：我们对一些较为简单的或者是有特殊关系的无理方程，可通过观察，根据算术根的定义或利用根式的有关性质，直接判断它们解的情况。这样，可不必盲目的去解方程，避免走弯路。二、直接平方法例5、解方程解：移项得，x+2两边平方整理得，解得，经检验，是增根。所以，原方程的解为x=1。注：含有一个根式的无理方程，通过整理后，通常

3、要进行一次平方，即可把无理方程转化为有理方程。例6、解方程解：移项、两边平方并整理得，两边再平方并整理得，解得x=20，或者x=4，经检验，x=4是增根。所以，原方程的解为x=20。注：含有两个根式的无理方程，通过整理后，通常要进行两次平方才能获得方程的解。三、换元法例7、解方程解：设原方程可化为解得y=6，或者y=-1（舍去）。所以，当y=6时，即解得x=3，或者x=。经检验x=3，或者x=都是原方程的解。例8、解方程解：原方程可变形为设原方程可化为解得y=3，或者y=（舍去）。所以，当y=3时，即解得，x=5或者x=-2。经检验x=5，或者x=-2都是原方程的解。注：若被开方

4、式中各项的系数（或者某项系数与常数项）与不在根号内的式子中所含未知数的项的系数（或者某项系数与常数项）对应相等或者对应成比例，可考虑用换元法来解。例9、解方程解：设则所以，原方程可化为平方、整理得解得y=5或者y=-3（舍去）。当y=5时，即∴x=20经检验x=20是原方程的解。注：利用换元法来解，避免了增根的产生。请与例6进行比较。例10、解方程解：∵已知方程中x≥5，∴≠0两边同除以得，（1）设则（2）将（2）代入（1）得（3）解（3）得y=，或者y=（舍去）把代入（2）得x=9经检验，x=9是原方程的解。注：根据假设y表示算术根，若求得的y值是负数，则应舍去，这样就避免了产

5、生增根的可能。如：例7、例8、例9、例10四、配方法例11、解方程解：原方程可化为∴∴解之得，x=3或者x=（增根，舍去）∴原方程的解为x=3注：本题若通过平方来解，则会出现高次，这会给解题带来一定的困难。而通过拆项、添项的办法，把原方程的左边配成完全平方式，利用直接开平方的方法来解，这就比利用平方的方法来解要简单的多。五、平方公式法例12、解方程分析：本题若采用平方法来解，较繁；用换元法来解，亦较繁，都会出现高次。根据方程中被开方式的特点，可考虑利用平方差公式来解。解：∵∴（1）已知(2)得∴（3）（2）+（3）得解得x=-6或者x=1检验x=-6或者x=1是原方程的解。六、利

6、用互为倒数关系来解例13、解方程解：∵与互为倒数，又∵2与亦互为倒数∴可令=2或者=从而解得x=2或者x=-3x=-3是增根∴原方程的解为x=2七、利用分母有理化来解例14、解方程分析：这个方程的特点是左边两个式子的分母是共轭根式，利用分母有理化即可把分母中的根号化去。解：把原方程分母有理化，得易得x=1经检验x=1就是原方程的根。邮编：223800电话：0527—84946162（单位）0527—84946143（住宅）