黑体辐射定律

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基尔霍夫热辐射定律基尔霍夫热辐射定律（Kirchhoff热辐射定律），德国物理学家古斯塔夫·基尔霍夫于1859年提出的传热学定律，它用于描述物体的发射率与吸收比之间的关系。简介一般研究辐射时采用的黑体模型由于其吸收比等于1（α=1），而实际物体的吸收比则小于1（1>α>0）。基尔霍夫热辐射定律则给出了实际物体的辐射出射度与吸收比之间的关系。·M为实际物体的辐射出射度，Mb为相同温度下黑体的辐射出射度。而发射率ε的定义即为所以有ε=α。所以，在热平衡条件下，物体对热辐射的吸收比恒等于同温度下的发射率。而对于漫灰体，无论是否处在热平衡下，物体对热辐射的吸收比都恒等于同温度下的发射率。不同层次的表达式对于定向的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于半球空间的光谱，其基尔霍夫热辐射定律表达式为对于全波段的半球空间，其基尔霍夫热辐射定律表达式为·θ为纬度角，φ为经度角，λ为光谱的波长，T为温度。 参考文献·杨世铭，陶文铨。《传热学》。北京：高等教育出版社，2006年：356-379。·王以铭。《量和单位规范用法辞典》。上海：上海辞书出版社普朗克黑体辐射定律普朗克定律描述的黑体辐射在不同温度下的频谱物理学中，普朗克黑体辐射定律（也简称作普朗克定律或黑体辐射定律）（英文：Planck'slaw,Blackbodyradiationlaw）是用于描述在任意温度T下，从一个黑体中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射率是频率的函数[1]：这个函数在hv=2.82kT时达到峰值[2]。如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为[3]注意这两个函数具有不同的单位：第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而和并不等价。它们之间存在有如下关系： 通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：电磁波波长和频率的关系为[4]普朗克定律有时写做能量密度频谱的形式[5]：这是指单位频率在单位体积内的能量，单位是焦耳／（立方米·赫兹）。对全频域积分可得到与频率无关的能量密度。一个黑体的辐射场可以被看作是光子气体，此时的能量密度可由气体的热力学参数决定。能量密度频谱也可写成波长的函数普朗克定律（绿）、维恩近似（蓝）和瑞利-金斯定律（红）在频域下的比较，可见维恩近似在高频区域和普朗克定律相符，瑞利-金斯定律在低频区域和普朗克定律相符。马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表[6]。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难 ”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机，参见后文叙述）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔（也就是构成物质的原子）内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。推导下面的推导并非普朗克的原始推导（来源[5]），需要用到电动力学、量子力学和统计力学的有关概念。考虑一个充满了电磁辐射的边长为L的立方体：根据经典电动力学，在立方体壁表面的边界条件为电场的平行分量和磁场的垂直分量都为零。类似于处于束缚态的粒子的波函数，立方体内部的电磁场也是满足边界条件的周期性本征函数的线性叠加，在垂直于立方体壁表面的三个方向上各个本征函数的波长分别为λ1，λ2和λ3这里是非负整数。对于每一组值都有两个线性无关的解（两种不同的模）。根据量子力学中的谐振子理论，任意模式下的系统能级为这里量子数可看作是立方体中的光子数，而两种不同模式对应的是光子的两种偏振态。注意到当光子数为零时能级不为零，这种电磁场的真空能量是一种量子效应，是产生卡西米尔效应的原因。下面我们计算在温度下光子数为零时系统处于真空状态下的内能。根据统计力学，在特定模式下不同能级的概率分布由下式给出 这里分母是系统在特定模式下的配分函数，它能够使概率分布归一化。对正则系综有这里我们定义单个光子的能量为系统的平均能量和配分函数的关系为这个公式是玻色-爱因斯坦统计的一个特例。由于光子是玻色子，任一能级对光子的数量没有限制，系统的化学势为零。系统的总能量是平均能量对所有可能的单光子态求和。考虑在热力学极限下，立方体边长L趋于无穷大，这时单光子能量近似成为连续值，我们将平均能量对单光子的连续能量积分就可以得到系统的总能量，这就需要我们首先确定在任意给定的能量范围内具有多少个光子态。假设处于能级和的单光子态总数为（这里是所谓光子的能态密度，其具体表达式还需另行计算），则系统的总能量为为计算光子能态密度的表达式，我们将（1）式重写成这里是矢量的模 每一个矢量都对应有两个光子态，换句话说，在给定的一个由矢量构成的希尔伯特空间中的光子态总数是这个空间体积的2倍。一个微小的能量区间对应着这个希尔伯特空间中一个薄球壳的厚度。由于矢量的分量不能为负值，能量区间实际上只能对应整个薄球壳总体积的1/8（这是因为矢量有三个分量，每一个分量都为正数时的概率为1/8）。因而在能量区间上光子态总数为将这个表达式代入（2）式，得到注意到的三次方是立方体体积，因此可直接得到能量密度的表达式，将它写成频率的频谱函数其中这里即是黑体辐射的能量频谱密度，其意义为单位频率在单位体积内的能量。如果写成波长的函数，其中 这是黑体辐射的能量密度频谱的另一种形式，其意义为单位波长在单位体积内的能量。在玻色或费米气体情形下对这一函数积分需要用到多对数函数展开。但这里可以用初等函数的办法得到一个近似形式，数学上做代换积分变量从而可写成如下形式其中的表达式为这一积分结果将后文附录中做说明。因而得到立方体中电磁场的总能量为其中是立方体体积（注意：这个表达式不是斯特藩-玻尔兹曼定律，它的含义并不是理想黑体在单位时间内从单位表面积辐射出的总能量，参见斯特藩-玻尔兹曼定律条目）。由于辐射各向同性，并且以光速传播，能量的辐射率（单位时间单位表面积单位立体角单位频率下辐射的能量）为从而得到普朗克黑体辐射定律历史参见：光子、能量均分定理及紫外灾难 很多有关量子理论的大众科普读物，甚至某些物理学课本，在讨论普朗克黑体辐射定律的历史时都犯了严重的错误。尽管这些错误概念在四十多年前就已经被物理学史的研究者们指出，事实证明它们依然难以被消除。部分原因可能在于，普朗克最初量子化能量的动机并不是能用三言两语就能够道清的，这里面的原因在现代人看来相当复杂，因而不易被外人所理解[7]。丹麦物理学家HelgeKragh曾发表过一篇文章清晰地阐述了这种错误是如何发生的[8]。“紫外灾难”：在经典统计理论中，能量均分定理预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背首先是尽管普朗克给出了量子化的电磁波能量表达式，普朗克并没有将电磁波量子化，这在他1901年的论文以及这篇论文对他早先文献的引用中就可以看到[6]。他还在他的著作《热辐射理论》（TheoryofHeatRadiation）中平淡无奇地解释说量子化公式中的普朗克常数（现代量子力学中的基本常数）只是一个适用于赫兹振荡器的普通常数。真正从理论上提出光量子的第一人是于1905年成功解释光电效应的爱因斯坦，他假设电磁波本身就带有量子化的能量，携带这些量子化的能量的最小单位叫光量子。1924年萨特延德拉·纳特·玻色发展了光子的统计力学，从而在理论上推导了普朗克定律的表达式。另一错误概念是，普朗克发展这一定律的动机并不是试图解决“紫外灾难”。“紫外灾难”这一名称是保罗·埃伦费斯特于1911年提出的，从时间上看这比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外灾难是指将经典统计力学的能量均分定理应用于一个空腔中的黑体辐射（又叫做空室辐射或具空腔辐射）时，系统的总能量在紫外区域将变得发散并趋于无穷大，这显然与实际不符。普朗克本人从未认为能量均分定理永远成立，从而他根本没有觉察到在黑体辐射中有任何“灾难”存在——不过仅仅过了五年之后，这一问题随着爱因斯坦、瑞利勋爵和金斯爵士的发现而就变得尖锐起来。附录参见：黎曼ζ函数及Γ函数有一个简便方法计算下面的积分 我们可以首先用替换式中的，计算一般形式下的积分由于分母总是小于1，我们可以将它按展开写成收敛的几何级数这就是几何级数的求和公式。等号左边的表达式正是右边的求和结果，右边的几何级数公比为.从而得到表达式乘以后相当于将变成，因而我们将求和符号中的序号加1，并消去原先的:通过变量替换，我们得到以及，积分式进一步写成 即形如上式的积分是收敛的，我们将求和的部分移到积分之外：前面的求和系数正是黎曼ζ函数，而后面的积分正是Γ函数。从而我们得到一个一般的关系式：或等价为对于我们所需要的积分，积分式的分子为，因此代入上面等式中得到这里我们用到了和。（参见黎曼ζ函数和Γ函数的有关性质）。 斯特藩-玻尔兹曼定律斯特藩-玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmannlaw），又称斯特藩定律，是热力学中的一个著名定律，其内容为：一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射出的总能量（称为物体的辐射度或能量通量密度）j*与黑体本身的热力学温度T（又称绝对温度）的四次方成正比，即:其中辐射度j*具有功率密度的量纲（能量/(时间·距离2)），国际单位制标准单位为焦耳/(秒·平方米)，即瓦特/平方米。绝对温度T的标准单位是开尔文，为黑体的辐射系数；若为绝对黑体，则.比例系数σ称为斯特藩-玻尔兹曼常数或斯特藩常量。它可由自然界其他已知的基本物理常数算得，因此它不是一个基本物理常数。该常数的值为：所以温度为100K的绝对黑体表面辐射的能量通量密度为5.67W/m2，1000K的黑体为56.7kW/m2，等等。斯特藩-玻尔兹曼定律是一个典型的幂次定律。本定律由斯洛文尼亚物理学家约瑟夫·斯特藩（JožefStefan）和奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼分别于1879年和1884年各自独立提出。提出过程中斯特藩通过的是对实验数据的归纳总结，玻尔兹曼则是从热力学理论出发，通过假设用光（电磁波辐射）代替气体作为热机的工作介质，最终推导出与斯特藩的归纳结果相同的结论。本定律最早由斯特藩于1879年3月20日以ÜberdieBeziehungzwischenderWärmestrahlungundderTemperatur（《论热辐射与温度的关系》）为论文题目发表在维也纳科学院的大会报告上，这是唯一一个以斯洛文尼亚人的名字命名的物理学定律。本定律只适用于黑体这类理想辐射源。斯特藩-玻尔兹曼定律的推导斯特藩-玻尔兹曼定律能够方便地通过对黑体表面各点的辐射谱强度应用普朗克黑体辐射定律，再将结果在辐射进入的半球形空间表面以及所有可能辐射频率进行积分得到。 式中Ω0黑体表面一点的辐射进入的半球形空间表面（以辐射点为球心），为在温度T时黑体表面的单位面积在单位时间、单位立体角上辐射出的频率为的电磁波能量。式中包括了一个余弦因子，因为黑体辐射几何上严格符合朗伯余弦定律（Lambert'scosinelaw）。将几何微元关系dΩ=sin(θ)dθdφ代入上式并积分得：（对频率的玻色积分项的计算方法参见条目多重对数函数）日面温度提出本定律后斯特藩利用它估算了太阳的表面温度。当时法国人查理·索里特（CharlesSoret，1854年–1904年）用实验测得地球上接收到的太阳发出的能量通量密度约为一块加热金属板表面辐射的能量通量密度的29倍。将适当大小的圆形金属版放置在测量仪器前方适当的距离，则可以认为测量仪器接收到的金属板发出辐射的角度与太阳光照射的角度基本相同。索里特测得金属板的表面温度为1900°C到2000 °C之间。斯特藩猜测太阳照射到地球的能量有1/3被地球大气层吸收（当时尚未有关于大气层对电磁辐射的吸收的公认测量数据），所以算得实际接收到的太阳辐射强度应为金属板辐射强度的29×3/2=43.5倍。金属板的表面温度斯特藩取索里特猜测的中间值1950 °C，即2200K。由于43.5=2.574，所以根据上面的定律，太阳表面的绝对温度应为金属板表面绝对温度的2.57倍，即5430 °C或5700K（现代精确测量结果为5780K）。这是历史上对日面温度的第一个较精确的测量结果。在此之前人们对日面温度的数值曾经众说纷纭，测量结果从1800 °C到13,000,000 °C都有。通过其他方法测量的日面温度与该结果的吻合验证了本定律的正确性。维恩位移定律 几个不同温度下的黑体辐射的电磁波谱（横轴为辐射的波长，纵轴为相应的能量密度）。维恩位移定律描述的就是辐射峰值随黑体温度变化的关系。维恩位移定律（Wien'sdisplacementlaw）是物理学上描述黑体电磁辐射能流密度的峰值波长与自身温度之间反比关系的定律，其数学表示为：式中为辐射的峰值波长（单位米），为黑体的绝对温度（单位开尔文），b为比例常数，称为维恩位移常数，数值等于2.8977685(51)×10–3mK（2002年国际科技数据委员会(CODATA)推荐值，括号中为68.27%置信度下的不确定尾数）。光学上一般使用纳米（nm）作为波长单位，则b=2.8977685(51)×106nmK.说明维恩位移定律说明了一个物体越热，其辐射谱的波长越短（或者说其辐射谱的频率越高）。譬如在宇宙中，不同恒星随表面温度的不同会显示出不同的颜色，温度较高的显蓝色，次之显白色，濒临燃尽而膨胀的红巨星表面温度只有2000-3000K，因而显红色[1]。太阳的表面温度是5778K，根据维恩位移定律计算得的峰值辐射波长则为502nm，这近似处于可见光光谱范围的中点，为绿色光[2]。但实际我们看到的太阳是黄色的，这和各个波长成分的光所做出的贡献有关[3]。 与太阳表面相比，通电的白炽灯的温度要低数千度，所以白炽灯的辐射光谱偏橙。至于处于“红热”状态的电炉丝等物体，温度要更低，所以更加显红色。温度再下降，辐射波长便超出了可见光范围，进入红外区，譬如人体释放的辐射就主要是红外线，军事上使用的红外线夜视仪就是通过探测这种红外线来进行“夜视”的。本定律由德国物理学家威廉·维恩（WilhelmWien）于1893年通过对实验数据的经验总结提出。频率形式用f表示频率，单位赫兹，则维恩位移定律可表示为以下频率形式是数值求解最大值方程得到的常数；k为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数，T为绝对温度（单位开尔文）需要注意的是，以上频率形式中的辐射能流密度定义为“通过单位面积、单位宽度的频率带在单位时间中辐射出的能量”，而波长形式的辐射能流密度则定义为“通过单位面积、单位宽度的波长范围在单位时间中辐射出的能量”，因此和对应的并不是同一个辐射峰。所以和波长形式中的不满足频率×波长=波速的关系式，即：其中c表示光速。定律的推导虽然威廉·维恩提出本定律的时间是在普朗克黑体辐射定律出现之前的1893年，且过程完全基于对实验数据的经验总结，但可以证明，本定律是更为广义的普朗克黑体辐射定律的一个直接推论。根据普朗克定律，以波长为自变量的黑体辐射能流密度谱为：为求出使得u取得最大值的，令对的导数为0 若定义无量纲（又称“无因次”）变量则方程的解无法表示成初等函数（为郎伯W函数），但能否得到精确解并不影响本推导过程。可以很容易用数值方法得到  (无量纲)将解代入x的表达式，可得：.其中单位为纳米，温度单位为开尔文。本定律的频率形式也可通过类似的方法推得，只要将作为出发点的普朗克定律写成频率形式即可。注释1.^可见光颜色的波长从长到短依次为红->橙->黄->绿->青->蓝->紫2.^整个太阳光光谱完整覆盖（且超出）了可见光光谱范围，使得太阳光（在没有大气的情况下）呈白色。至于人们在地上所看见的红日、蓝天等现象，都是由于大气层气体分子对短波长光线作瑞利散射（Rayleighscattering）的结果。3.^TheColourofStars.AustralianTelescopeOutreachandEducation[2006-08-13].外部链接·EricWeisstein的物理世界（英文） ·PlanetPhysics参考文献·吴强、郭光灿编，《光学》，中国科学技术大学出版社，合肥，1996，第381页~第382页，ISBN7-312-00762-7/O·173