北师大版必修5：2.1《等差数列》

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1、北师大版高中数学必修5课件2.1等差数列请看下面一些数列:鞋的尺码，按照国家统一规定，有22，22.5，23，23.5，24，24.5，……某月星期日的日期为2，9，16，23，30；一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度为：89，83，77，71，65，59，53，47(cm)一、课题引入思考：它们有何共同特征？从第2项起，每一项与前一项的差都等于一个常数.二、等差数列的定义如果一个数列{an}，从第2项起每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常

2、用字母d表示。等差数列定义的公式表示：an-an-1=d例1．已知数列{an}的通项公式为an=3n－5，这个数列是等差数列吗？解：因为当n≥2时，an－an－1=3n－5－[3(n－1)－5]=3，所以数列{an}是等差数列，且公差为3.（1）判断一个数列是否等差数列，应严格按照等差数列的定义来进行。等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差,不能颠倒。跟踪练习：判断下列数列是否等差数列？评注：（2）作差的结果要求是同一个常数。可以是整数，也可以是０和负数。如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d

3、,求它的通项公式an∴a2＝a1＋da3＝a2＋d＝a1＋2da4＝a3＋d＝a1＋3da5＝a4＋d＝a1＋4d……由此得:an＝a1＋(n－1)d（n∈N+)解：由等差数列得定义得：an＋1＝an＋d三、等差数列的通项公式思考:还可以有别的方式得到这个公式吗？叠加得…等差数列的通项公式推导2（叠加）例2．已知等差数列10，7，4，……；（1）试求此数列的第10项；（2）－40是不是这个数列的项？－56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？解：（1）设此数列为{an}，由a1=10，a2=7，得d=

4、7－10=－3，得到这个数列的通项公式为an=10－3(n－1)，即an=－3n+13，当n=10时，a10=－17.（2）如果－40是这个数列的项，则方程－40=－3n+13应有正整数解，解这个方程得，所以－40不是这个数列的项；如果－56是这个数列的项，则方程－56=－3n+13有正整数解，解这个方程得n=23，所以－56是这个数列的第23项；（1）、已知等差数列的首项a1是3，公差d是2，求它的通项公式。（2）、求等差数列10，8，6，4，‥‥的第20项。（3）、-401是不是等差数列–5，-9

5、，-13，‥‥的项？如果是，是第几项？跟踪练习：例3：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求首项a1，公差d及通项an。分析：此题已知a6=12，n=6；a18=36,n=18分别代入通项，公式an=a1+(n-1)d中，可得两个方程，都含a1与d两个未知数组成方程组，可解出a1与d。解：由题意可得a1+5d=12(1)﹛a1+17d=36(2)∴d=2a1=2∴an=2+(n-1)×2=2n（1）此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必

6、考的思想方法，应熟悉并掌握。***********评注：（2）等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中，an,a1,n，d这四个变量，知道其中三个量就可以求余下的一个量。跟踪练习在等差数列{an}中，已知（1）a4=10,a7=19，求a1与d。（2）a3=9,a9=3，求a12。1.在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d=nd+(a1－d)可以看出，当公差d=0时，该数列是常数列.即常数列是等差数列的特殊形式，公差为0.当公差d≠0时，an是关于n的一次式.四：性质一：公差的几何意义思考

7、：若设数列{an}的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，这个数列是等差数列吗？因为an－an－1=(an+b)－[a(n－1)+b]=a.(n≥2)所以{an}是等差数列，其中a是公差.结论：如果{an}是等差数列，则an=an+b，(a，b是常数)；反之，若{an}的通项公式是an=an+b，(a，b是常数)，则数列{an}是等差数列，2.由于等差数列的通项公式可以表示为an=an+b，因此从图象上看，表示这个数列的各点均在一条直线上。当a≠0时，各点均在一次函数y=ax+b的图象上；当a=

8、0时，各点均在函数y=b的图象上。思考：在哪条直线上？讨论：这个数列的公差与这条直线有什么关系？有什么意义？这个数列的公差等于这条直线的斜率，这就是公差的几何意义。例1．已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.解：由等差数列的通项公式可知an=a1+(n－1)d，am=a1+(m－1)d，两式相减得，an=am+(n－m)d.思考：还可以如何推导？解：由几何意义可知点（n,an），（m,am）在直线y=dx+b上，所以d=(an-am)/