因式分解(竞赛题)含问题详解

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1、实用文档因式分解序号公式记忆特征1x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(十字相乘法)(1)常数项两数积(2)一次项系数两数和(3)二次项系数为12a2-b2=(a-b)(a+b)(平方差公式)3a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2(完全平方公式)4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2(完全平方公式扩展)(1)三数平方和(2)两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3=(a-b)3(完全立方公式)对照完全平方公式相互加强记忆

2、6a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(1)近似完全平方公式(2)缺项之完全立方公式(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)[(a+b)2+3ab]=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)n=整数(平方差公式扩展)(1)短差长和;(2)a指数逐项递减1;(3)b指

3、数逐项递增1;(4)长式每项指数和恒等于n-1。9an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=偶数(立方差公式扩展)(1)短式变加长式加减相间;(2)a指数逐项递减1;(3)b指数逐项递增1;(4)每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)n=奇数(立方和公式扩展)对比公式9的异同    运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1分解因式:  (1)-2

4、x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;(2)x3-8y3-z3-6xyz;  解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)       =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]       =-2xn-1yn(x2n-y2)2       =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.标准文案实用文档(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)     =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz). 例2分解因式:a3+b3+c3

5、-3abc.  本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).  分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3  的正确性,现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).  这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.  解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc     =[(a+b)3+c3]-3ab(a+b+c)     =(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)     =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca). 

6、 说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为  a3+b3+c3-3abc       显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.  如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有  等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.※※变式练习 1分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1.  分析这个多项式的特点是:有16

7、项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.  解因为  x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),  所以标准文案实用文档  说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.  2.拆项、添项法  因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项

8、,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.  例3分解因式:x3-9x+8.  分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.  解法1将常数项8拆成

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