师大线性代数第五章二次型

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1、第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示§5.2§5.3二次型的系统研究是从18世纪开始的起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论1801年,德国数学家高斯:引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语法国数学家柯西:当方程是标准型时,二次曲面用二次项的符号来进行分类不太清楚,在化简成标准型时,为何总是得到同样数目的正项和负项后来,英国数学家西尔维斯特回答了这个问题:给出了n个变数的二次型的惯性定律,但没有证明这个定律后被雅可比重新发现和证明了一.二次型(quadraticform)的定义二次曲线ax2+bxy+cy2=1m(x')2+n(y')2=1OxyyOx第五章二次型§5

2、.1二次型及其矩阵表示第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2an-1,nxn-1xnn元实二次型aij=ajinaijxixji,j=1第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示nf(x1,x2,…,xn)=aijxixji,j=1A=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…annx=x1x2…xnxTAxf的矩阵A的二次型f的秩:r(A)第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示nf(x1,x2,…,xn)=aijxixji,j=1k1y1

3、2+k2y22+…+knyn2?f的标准形(canonicalform)xTAx=(y1,y2,…,yn)=k10…00k2…0…………00…kny1y2…yn第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=g(y)寻求可逆矩阵P,使得寻求可逆的线性变换x=Py,使得PTAP=k10…00k2…0…………00…kn第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表示二.矩阵的合同A与B相合或合同(congruent):可逆矩阵P,使得PTAP=B.矩阵间的相合关系也是一种等价关系.记为:AB.(1)反身性:AA;(2)对称性:ABB

4、A;(3)传递性:AB,BCAC.定理5.1.实对称矩阵与对角矩阵合同.第五章二次型§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形定理5.2.对于任何一个n元实二次型f=xTAx,都有正交变换x=Qy,使f化为标准形f=1y12+2y22+…+nyn2,其中1,2,…,n为A的n个特征值,Q的列向量就是A的对应的n个单位正交特征向量.正交变换下的标准形一.用正交变换化实二次型为标准形§5.2化二次型为标准形第五章二次型例1.用正交变换把将二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3化为标准形.

5、E–A

6、=(–1

7、)(–2).所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=0求得对应的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,–1)T.它们是两两正交的.解:f的矩阵A=101010101,§5.2化二次型为标准形第五章二次型所以A的特征值为1=0,2=1,3=2.代入(E–A)x=0求得对应的特征向量1=(1,0,1)T,2=(0,1,0)T,3=(1,0,–1)T.它们是两两正交的.把它们单位化可得正交矩阵Q=0100,222211110令x=Qy,得该二次型的标准形为f=y22+2y32.§5.2化二次型为标准形第

8、五章二次型例2.求二次型f=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3在条件x12+x22+x32=1下的最大,最小值.由此可得A的对应于特征值=4的一个特征向量:1=(1,1,0)T,

9、E–A

10、=(–4)2(+2).解:f的矩阵A=312132220,4E–A=112112224初等行变换100100200§5.2化二次型为标准形第五章二次型此外A的对应于特征值=–2的一个特征向量为3=(1,1,–2)T,得2=(1,1,1)T,由此可得A的对应于特征值=4的一个特征向量:1=(1,1,0)T,4E–A=1121122

11、24初等行变换100100200为了求对应于=4的另外一个与1正交的特征向量,再解方程组111120x=0§5.2化二次型为标准形第五章二次型f=4y12+4y222y32由此可得正交矩阵Q=且x12+x22+x32=1化为y12+y22+y32=1,此时0,6162212131313161令x=Qy,得该二次型的标准形为f=4y12+4y222y32.=4(y12+y22+y32)6y32=46y32最大值为4,最小值为2.=6(y12