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时间：2020-06-05
《线性代数第五章二次型习题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章二次型11．用矩阵记号表示下列二次型:(1) ;(2) (3) 解 (1) ．(2) ．(3) ．12．求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1);(2)．解 (1) 二次型的矩阵为故的特征值为．当时,解方程，由得基础解系.取当时，解方程，由得基础解系取．当时，解方程，由得基础解系取，于是正交变换为且有．(2)二次型矩阵为，故的特征值为当，，时，分别可得单位特征向量，，，．于是正交变换为且有．13．证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值.证明为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立．其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，则且，故则．其中当时，即即．
2、故得证．14．判别下列二次型的正定性：(1);(2)解 (1) ,，，，故为负定．(2) ，，,,．故为正定．15．设为可逆矩阵,,证明为正定二次型．证明 设，，．若“”成立，则成立．即对任意使成立．则线性相关,的秩小于，则不可逆，与题意产生矛盾．于是成立．故为正定二次型．16．设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使．证明 正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正．不妨设为其特征值，由定理8知，存在一正交矩阵使又因为正交矩阵，则可逆，．所以．令，可逆,则.
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