一起早培交流群数学模拟题(二)教师版

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1、一起早培交流群数学模拟题（二）1、已知14个数分别为，，，……，，这14个数的整数部分之和是_________．【答案】29【解析】令，得；令，得；易知．所以的整数部分依次为0，0，0，0，1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，故原题中14个数的整数部分之和为．2、如图，ABCD是正方形，，已知△AEG与△DEF的面积比为，那么△EFG的面积是多少？【答案】40【解析】因为，所以，，，，．．3、如图，数一数，图中共有多少个三角形？【答案】67【解析】若去掉中间倒三角形的两条斜边，则剩下的图形中有个三角形；而每添上一条斜边，新添上的斜边与原来的图形可组成12

2、个三角形；两条斜边都用到的三角形有1个；因此三角形的总数目是个．4、如图，在一个的方格表ABCD中，将A与线段CD上除端点外的所有格点N1，N2，，N599分别相连，得到599条线段．请问：在这些线段中，（1）不会与其它格点相交的线段共有多少条？（2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）？（3）除去端点，还恰好经过29个格点的直线有多少条？……AN1BN599DCN2N598……【答案】（1）160个（2）299个（3）8条【解析】直线会不会与其他格点相交，经过多少个格点，跟k和600的最大公约数有关；当k与600互质时，直线不会与其他格点相

3、交；当k与600不互质时，直线经过其他格点的数目为k与600的最大公约数减1．（1）相当于求1~599中与600互质的有多少个：由于600与600不互质，为方便计算，可以直接求1~600与600互质的数的个数，600含有质因数2、3、5；其中2的倍数有300个，3的倍数有200个，5的倍数有120个；2、3的公倍数有100个，2、5的公倍数有60个，3、5的公倍数有40个；2、3、5的公倍数有20个；根据容斥原理，1~600中与600有公约数的有个；因此与600互质的数有个．（2）1~599中的数与600的最大公约数最大是300，因此经过最多格点的线段是，经

4、过了299个格点．（3）相当于求1~599中与600的最大公约数是30的数有多少个，这样的数必定为这样的形式，其中a可能是1~20中的某个数；在根据与的最大公约数为30，因此a还要与20互质，枚举可得a可以是1、3、7、9、11、13、17、19共8中可能．5、从1~64中，至多能选出多少个不同的正整数，任意两数之差既不等于3也不等于5？【答案】32【解析】考虑将1开始的自然数排成一行，使得相邻两数之差为3或5，则一种排法为：1、4、7、2、5、8、3、6、9、12、15、10、13、16、11、14、17……观察可知，每16个数可视为一组，各加16即为下一

5、组，由此可一直填下去．特别地，1~64恰好是4组．若要求选出的任意两数之差既不等于3也不等于5，则相邻两个数至多选1个，故理论上最多选个．显然，选出1~64中所有奇数即满足要求．综上，最多选32个．6、有8个足球队进行循环赛，胜队得1分，负队得0分，平局的两队各得0.5分．比赛结束后，将各队得分按从高到低排名后发现：各队得分互不相同，且第二名的得分与最后四名所得总分一样多．求这次比赛中，取得第二名的队的得分．【答案】6分【解析】因为最后四名的各队之间要比赛6场，第五名第六名第七名第八名图中两队之间有线段相连，表示两队之间有比赛所以最后四名的4个队的总分至少是

6、6分，由第二名的得分与最后四名所得总分一样多，知第二名至少得6分．①由比赛共有8个队进行循环赛，知每个队都要与其他7个队各比赛1场，所以第一名最多得7分，又各队的分数都不相同，所以第二名的得分小于7分．②当第二名的得分是6.5分时，第二名与第三名到第八名的比赛中全部获胜，且与第一名的比赛是平局，此时第一名的得分也是6.5分，与题中的条件矛盾，所以第二名的得分是6分．7、小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的

7、速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程___________千米．【答案】288【解析】从丙到乙正常与故障后的速度比为1:(1-75%)＝4:3，则时间比为3:4，那么丙到乙计划用(2-40/60)/(4-3)*3＝4(时)，所以原计划小李从甲地到乙地要走2+4＝6(时)．从丁到乙正常与故障后的速度比为1:(1-75%)＝4:3，则时间比为3:4，那么丁到乙计划用(1.5-40/60)/(4-3)*3＝2.5(时)，所以甲乙全程为72/(1-2/6-2.5/6)＝288(千米)8、工地要用每根长7.4米的原材料

8、做100套钢筋，每套3根，长度分别为2.9米、1.5