数值计算与最优化(lecture12)最佳平方逼近

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1、定义5.1.1三、一般最小二乘拟合问题例如：一般地，为定义在X上的广义多项式，记为定义残差的平方和：最小二乘问题为：求解极小值问题加权最小二乘拟合问题各点的重要性可能是不一样的重度:即权重或者密度，统称为权系数定义加权残差的平方和为最小二乘问题可推广如下：由多元函数取极值的必要条件得即即引入记号并定义内积：正规方程组正规方程组便可化为：将其表示成矩阵形式根据Cramer法则，法方程组有唯一解：因此作为一种简单的情况：基函数之间的内积为法方程组为：例5.1.5回到本节开始的实例，从散点图可以看出纤维强度和拉伸倍数

2、之间近似与线性关系故可选取线性函数为拟合函数，其基函数为建立法方程组：根据内积公式，可得法方程组为：§2.最佳平方逼近定义5.2.1一、内积空间定义5.2.2性质5.2.1（Cauchy－Schwarz不等式）定义5.2.3定义5.2.4不难算出定义5.2.5性质5.2.2性质5.2.3性质5.2.4(勾股定理）性质5.2.5(平行四边形等式）和一般的线性赋范空间不同，内积空间有更好的几何性质：二、函数的最佳平方逼近上述问题等价于求多元函数的最小值。由多元函数取极值的必要条件得于是有上述方程组称为正规方程组。也

3、可以写为例5.2.1解取基函数为建立正规方程组：根据内积公式，可得正规方程组为：所求拟合函数为：例5.2.2解正规方程组为：所求拟合函数为：本题中，当用n次多项式拟合时，正规方程组对应的系数矩阵为n+1阶的Hilbert矩阵。因而当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求方程组的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基函数，才能求得最小平方逼近多项式。三、正交多项式从而，不需解方程组即可得到解定义5.2.6（一）正交多项式的性质性质5.2.6性质5.2.7（二）几种常用的正交多项式族1.Legendre多项式2.切比

4、雪夫多项式3.Laguerre多项式4.Hermite多项式