概率论第11讲

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1、概率论与数理统计第十一讲主讲教师：程维虎教授北京工业大学应用数理学院前面我们讨论了随机变量及其分布。如果知道了随机变量X的概率分布,那么,关于X的全部概率特征也就完全了解了。然而，实际问题中，概率分布很难确定,且有时并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道它的一些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的。最常用的数字特征是：期望和方差。4.1.1离散型随机变量的期望概念引入：某服装公司生产两种套装，一种是大众装，每件价格200元，每月生产1万件；另一种是高档装，

2、每件1800元，每月生产100件。现在问该公司生产的套装平均价格是多少？§4.1期望第四章数字特征这里有两种算法：于是，得到套装平均价格为1000元。很明显，这个平均价格太高了，不能反映该公司生产的套装的真实平均价格，这是因为忽略了每种套装的生产数量。一种是把两种套装的价格作简单平均,即另一种算法是：把每种套装的价格乘上生产件数，然后相加，得到总价格，最后除以总件数，即这是以概率为权的加权平均这样，就得到一个确定的数——随机变量X的数学期望，简称期望或均值。定义4.1.1设离散型随机变量有概率分布P{X

3、=xi}=pi,i=1,2,…，也就是说：离散型随机变量的期望是一个绝对收敛的级数和。若有限,则称为X的期望或均值。在X取可列无穷个值时，级数绝对收敛可以保证“级数之值不因级数各项次序的改排而发生变化”，这样E(X)与X取值的人为排列次序无关。例4.1.1有4只盒子，编号为1,2,3,4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X表示至少有一个球的盒子的最小号码，求E(X)。解首先求X的概率分布。X所有可能取的值是1,2,3,4。{X=i}表示i号盒中至少有一个球，i=1,2,3,4。为求P{

4、X=1}，考虑{X=1}的对立事件：{1号盒中没有球}，其概率为(3/4)3，因此{X=2}表示{1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球}，类似地得到：于是，1.两点分布设X∼B(1,p),0

5、用X表示10件产品中的次品数，则X~B(10,0.1)，每次检验后需要调整设备的概率为用Y表示一天中调整设备的次数，则Y~B(4,0.2639)。故，所求期望为3.泊松分布设X∼P()，其中>0，则E(X)=.定义4.2.1设X是连续型随机变量，概率密度为f(x),如果有限，则称为X的期望或均值，记成E(X)。也就是说：连续型随机变量的期望是一个绝对可积的积分值。4.1.2连续型随机变量的期望例4.1.3设随机变量X的概率密度为求E(X)。解1.若X~U[a,b]，则2.若X服从参数为λ的指数分布

6、，则由随机变量数学期望的定义，不难计算出：3.若X~，则例4.1.4设某型号电子管的寿命X服从指数分布，其平均寿命为1000小时，计算P{1000

7、的分布,就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来。但使用该方法必须先求出g(X)的分布。一般说来，这是比较复杂的事。那么,可否不求g(X)的分布，只根据X的分布来计算E[g(X)]呢？答案是肯定的，且有如下定理。定理4.1.1设X是一随机变量,Y=g(X),则当X为离散型时,P(X=xk)=pk,k=1,2,…;当X为连续型时,X的密度函数为f(x)。该定理的重要性在于：当我们求E[g(X)]时,不必再求g(X)的分布，而只需知道X的分布即可。这对求g(X)的期望带来了方便。例4.1.5设X∼N(0

8、,1)，求E(X2)。解例4.1.6设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位:吨)。X服从区间[2000,4000]上的均匀分布。每销售出一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元。问应组织多少货源，才能使国家收益最大?解设组织货源t吨。显然，应要求2000≤t≤4000。国家收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X)。表达式为由已知条件,知X的概率密度函数为可算得当t=3500时，E(Y)=