考研高数精品笔记(注释)

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1、第一章函数、极限、连续第1节函数a)反函数和原函数关于y=x对称。b)只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。c)多个奇函数之和为奇函数;多个偶函数之和为偶函数。d)2k个奇函数的乘积是偶函数;2k+1个奇函数的乘积是偶函数;任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。e)如果f(x)是周期函数,周期为T,则f(ax+b)也是周期函数,周期为

2、T/a

3、。f)基本初等函数包括:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数,以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。g)一切初等函数在其定义域内都是连续的。第2节极

4、限a)左右极限存在且相等极限存在。b)如果函数在X0极限为A,则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x),其中。(等价无穷小)c)极限存在极限唯一。(极限唯一性)d),且A>0,则在x的邻域内,f(x)>0。(保号性)e)函数f(x)在点x=x0存在极限,则存在该点的一个去心邻域U,在U内f(x)有界。(有界性)f)当limf(x)=A,limg(x)=B,那么lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B

5、lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/Blimg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n=Anlim(f(x)^g(x))=Ab(极限的四则运算)g)有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。h)=li.l=0,f(x)=o(g(x)).i.l=∞,f(x)是g(x)低阶.ii.0

6、inxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)1-cosxx2=》1-cosαxx2-1x=》-1αxtanx-xx-sinx特殊的,x→0时ax-1xlnac)只有因子才能进行等价无穷小的代换。d)要注重推广形式。例如【x→0时,xsinx】,如果当x→x0时,f(x)→0,那么将原式中x换成f(x)也成立。e)求极限的方法:i.利用函数的连续性(极限值等于函数值)。利用极限的四则运算性质。ii.抓头公式(处理多项式比值的极限)。1.抓小头公式。(x→0)2.抓大头公式。(x→∞)(分子分母同除最高次项)(极限为【最高次项的系数比】)iii

7、.两个准则:1.夹逼准则2.单调有界必有极限i.两个重要极限:1.=1(利用单位圆和夹逼准则进行证明)2.(利用单调有界准则进行证明)口诀:倒倒抄。(结合抓头公式)ii.无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1.有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界量乘积为无穷小。2.12种等价无穷小的代换。iii.左右极限:求分段函数分段点的极限值。iv.利用导数的定义求极限。导数定义:增量比,取极限。构造出“增量比”的形式,则极限就是导数。v.定积分的定义求极限。(处理多项求和的形式)vi.泰勒公式1.泰勒公式中系数表达式:fnx0n!x-x0n2.

8、当x0=0的时候,泰勒公式则称为麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式:exsinxcosxln(x+1)(1+x)mvii.洛必达法则使用前提:(1)分子分母都趋向于0。(2)分子分母的极限都存在。(3)分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。第一层次00∞∞第二层次0*∞:转换成00或∞∞∞-∞:通分化为00(常用换元的方法求解)第三层次1∞∞000使用eln进行转化。第1节连续与间断a)连续某点:极限值=函数值函数在该点连续开区间:在该区间中每个点都是连续的,则在开区间连续。闭区间:开区间连续切在端点连续b)间断第一类间断点(左右极限都存在)可去间断点:左右极限

9、相等跳跃间断点:左右极限不相等第二类间断点(左右极限至少有一个不存在)无穷间断点:因趋于无穷而造成的不存在。振荡间断点:因振荡而不存在。c)初等函数的连续性i.基本初等函数在相应的定义域内连续。ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。iv.原函数连续且单调,反函数必为连续且单调。v.一切初等函数在相应定义区间内连续。d)闭区间连续函数的性质如果f(x)在[a,b]连续,则:1.f(x)在[a,b]有界。2.有最大最小值3.介值定理4.零点定理:f(a)*f(b)<0,a、b之间必有零点。

10、第一章一元函数微分学第1节导数与微分1

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