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1、文登考研高等数学笔记研究对象:函数。研究方法:极限研究思想:以不变代替变,消除误差取极限研究内容:微积分:(一元函数微积分)通过空间解析几何转化为(多元函数微积分){以及其实际应用};应用:无穷级数和常微分方程;一元函数微积分:一元函数微分学{(函数、极限和连续)、(导数与微分)、通过中值定理4个这座桥实现(导数与微分的应用)}+积分学{(不定积分)、(定积分及反常积分)、(应用)}维数增加多元函数微积分:{微分学:(函数、极限和连续)、(偏导数,全微分)、(二元函数泰勒公式【未考过】)、(极值应用)}+积分学:{重积分(二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分)、(重积分应用)、(无穷区

2、域上的二重积分【可能在概率统计二维随机变量考】)}注:一元函数微积分与多元函数微积分学之间的联系与差别。课程讲解部分函数、极限、连续一、函数1.概念:x属于I,有f=f(x)对应法则后,y属于D;定义域、y=f(x),y=f(+)表示同一函数关系、由实际问题所建立的函数【重点】2.性质奇偶性:y=f(x),x属于(-t,t),偶函数图像关于y轴对称,y=f(x)=f(-x);奇函数图像关于原点对称,y=f(-x)=-f(x);注:1、f``(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]2、奇偶性在求导,积分中的应用周期性:存在T>0,f(x+T)=f(x),则f(

3、x)周期为T的周期函数注:周期性在求导函数特性以及积分中的应用。增减性:若x1f(x2),单调减};注意大于等于,小于等于的情况注:1.函数的增减性与讨论的区间有关。2.利用导数的符号判定增减性(后讲)3.增减性是证明不等式的一个重要工具(后讲)4.有界性,若存在f(x),对任意的x属于I,存在M>0,使得

4、f(x)

5、<=M,则f(x)在I上有界。有上界,f(x)<=M;有下界:f(x)>=-M5.单调增有上界,单调减有下界;有界与讨论的定义域区间有关,可与求函数的最大值和最小值,极大值、极小值相关联起来。3.函数的分类1.反函

6、数;y=f(x)—>x=f-1(y)存在性:为单调函数注:y=f(x)和x=f-1(y)是同一个图形,代表同一条曲线,y=f(x)和y=f-1(x)是关于一三象限角平分线对称的1.基本初等函数(*)[指数函数、对数函数、三角函数,反三角函数]要求必须要求对这积累函数的定义域、值域、特性要非常清楚。列:y=e1/x2arctan(x2+x+1)/(x-1)(x-3)的垂直渐近线有几条?解:垂直渐近线是无穷间断点对应的。有x—>定值时。Y—>无穷。这里需要注意的是:因为arctanx是基本初等函数有界的。没有无穷间断点。故这里只有一条垂直渐近线。2.复合函数;y=f(u),u=g(x),则y

7、=f[g(x)]是复合函数,并非任意两函数均可复合,且考研考将复合函数拆成多个函数,即:复合函数的求导。3.初等函数;经过有限次四则运算或者复合构成;4.参数方程x=x(t),y=y(t);得出y=y(x)【2010考了参数方程求导】5.隐函数,F(x,y)=0;这里与微分方程可联系起来。6.分段函数【*】每年必考;包括4类:{考求导、积分、解微分方程}(1)分段定义的函数(2)y=

8、f(x)

9、等形式(3)y=max{f(x),g(x)};x属于[a,b]等分段定义形式(4)y=[f(x)]取整函数一、极限1.定义:数列极限、函数极限定义,看懂书中例题即可。{2000年之后没考过}注:ε

10、是任意的,σ、N存在、不唯一,σ=σ(ε),N=N(ε)..limn→∞Xn≠A等价于存在ε>0,对任意的N>0,可以找到某个n>N,使得

11、Xn-A

12、>=ε极限由变化过程【对自变量而言,N和σ】以及变化趋势【对函数而言ε】例如:limn→-∞x+1+x+1x2+sinx错解:消除无穷大因子;即可分子分母同除X2即可,结果为2.【但是结果是错的,因为没考虑变化过程,x

13、2)局部保号性;若limx-》X0f(x)=A>0(A<0),则一定存在X0的去心邻域,有f(x)>0【f(x)<0】;极限大于0,则函数大于0例如:设Y=f(x)在x=a附近连续,且limx->afx-f(a)(x-a)2=1,则(D)A.f’(a)不存在B.f’(a)存在,但不为0C.a为f(x)的极大值点D.a为f(x)的极小值点分析:limx->afx-f(a)(x-a)2=1>0,则一定存在a的去心邻域,在其内,有fx-f

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