大学高数第一章 函数和极限

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1、医用高等数学教师：杜晓曦电话：139908567101第1章函数和极限1.1函数1.1.1函数的概念2关于函数定义的几点说明31、函数相同的条件两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同。2、函数定义域的规定函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的实际意义时，函数的定义域是使函数表达式有意义的一切实数。3、函数的表示方法函数最常用的表示方法为公式法，图像法、表格法函数的常用表示方法例1-1：在出生1-6个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式：例1-2：监护仪记录了某患者一段时间内体温的变化曲线，如图1-1，对

2、于这段时间的任意时刻都能读出患者的体温的值。41、公式法2、图像法例1-3：表格1-1统计记录了某地区某年1-12月中当地流行性出血热的发病率。53、表格法1.1.2函数的几种特性61.单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数y有唯一确定的一个值与之对应，这样的函数称为单值函数，否则称为多值函数。单值函数实例多值函数实例2、函数的单调性73.函数的奇偶性84.函数的周期性95.函数的有界性101.1.3复合函数类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数。1112邻域的概念131.1.4初等函数1、基本初等函数（bas

3、icelementaryfunction）课后作业:复习基本初等函数的性质、定义域、图像等特征14常函数基本性质15解析式:定义域:实数集R幂函数基本性质16解析式:定义域:必须视常数的取值而定，若为分数时，通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域。图像特征:所有幂函数必经过点(1,1)幂函数图像17幂函数图像18指数函数基本性质19解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数图像必经过点(0,1)对数函数基本性质20解析式:基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像必经过点(0,1)正弦、

4、余弦函数基本性质21解析式:基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正周期T为正切、余切函数基本性质22解析式:基本性质:正切函数定义域为,余切函数定义域为，二者周期T均为，值域均为(-∞,+∞),互为倒数。正切、余切函数基本图像23正切函数图像片段余切函数图像片段2、初等函数例如：是初等函数。定义1.3由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数，称为初等函数。24说明：分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数。如以下函数都是分段函数：1.1.5分段函数定义1.4在自

5、变量的不同变化范围中，对应规律用不同式子来表示的函数，称为分段函数。251.2极限（重点.难点）1.2.1极限的概念262728实例293031也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在xy32331.2.2极限的四则运算34注意：定理省略了具体的极限过程，包括和且适用于有限个函数的情形。35例求解：36例求373839（为常数）可作为常用公式直接使用4041（为常数）可作为常用公式直接使用421.2.3两个重要极限431.型:2.型:或两个重要极限应用4445464748491.2.4无穷小量与无穷大量定义1.

6、7以零为极限的变量称为无穷小量。1、一个变量是不是无穷小量，要看其极限过程。2、无穷小量实质是其绝对值无限小的量，而不是其本身值的无限小。5051定义1.8函数在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限增大的量称为无穷大。关于无穷小、无穷大的几点说明521、无论是无穷小还是无穷大，都与自变量的变化过程密切相关，同一个函数，自变量的变化过程不同，函数的变化趋势也不一样。如：53关于无穷小的相关定理54553、无穷小的比较与阶5657补充:等价无穷小的重要应用5859601.3函数的连续性61一、函数连续的概念函数的连续实例函

7、数的间断实例函数连续几何特征:函数图像在某点或区间上不间断。二、函数连续性的定义621、函数增量的概念图1函数增量表达式632、关于函数连续性的两个定义6465函数在点连续的充要条件是在该点既左连续也右连续。函数连续的等价判定条件66676869函数在区间上的连续闭区间上连续函数的性质70717273函数的间断点74函数间断点的分类757677