高等代数(第三版)8.6

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1、一、若当块的初等因子§6若当标准形的理论推导二、若当形矩阵的初等因子三、若当标准形存在定理若当块的初等因子是一、若当块的初等因子证：此即的级行列式因子.又有一个级子式是所以　的　　级行列式因子为1.从而，的级行列式因子皆为1.的不变因子是:故　的初等因子是:若当形矩阵其中则J的全部初等因子是：二、若当形矩阵的初等因子证：　的初等因子是与矩阵　　　等价.于是与矩阵等价.由定理9，的全部初等因子是：初等因子唯一确定.完全被它的级数与主对角线上的元素　所刻划，而这两个数都反应在它的初等因子上.可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它的全部若当块的初等因子构成的.由于每个若当块因此，

2、若当块被它的初等因子唯一决定.从而，若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.三、若当标准形存在定理1.证：若n级复矩阵A的全部初等因子为:（*）（其中　　可能有相同的，指数也可能相同的）.每一个初等因子　　对应于一个若当块令则J的初等因子也是（*），故J与A相似.即J与A有相同的初等因子.变换，在V中必定存在一组基，使　在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去2.定理10换成线性变换的语言即为（定理11）设　是复数域上n维线性空间V的线性若

3、当块的排序外是被　唯一确定的.的初等因子全是一次的.3.特殊情形（定理12）复矩阵A与对角矩阵相似的不变因子没有重根.（定理13）复矩阵A与对角矩阵相似4.n阶复矩阵A的最小多项式就是A的最后一个不变因子.证：设A的若当标准形是其中由一知，　的最小多项式是由不变因子与初等因子的关系知，由§7.9中引理3之推论知，为A的最小多项式.又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，所以，A的最小多项是它的最后一个不变因子例1、求矩阵A的若当标准形.解：的初等因子为故A的若当标准形为求A的若当标准形.例2、已知12级矩阵A的不变因子为个解：依题意，A的初等因子为的若当标准形为练习：求矩阵

4、A的若当标准形答案：的初等因子为A的若当标准形为作业P357:6(3)(6)(9)(12)(14)