高等代数(北大版第三版)习题答案i

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1、高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章多项式1．用除，求商与余式：1）；2）。解1）由带余除法，可得；2）同理可得。2．适合什么条件时，有1），2）。解1）由假设，所得余式为0，即，所以当时有。2）类似可得，于是当时，代入（2）可得；而当时，代入（2）可得。综上所诉，当或时，皆有。3．求除的商与余式：1）；2）。解1）；2）。4．

2、把表示成的方幂和，即表成的形式：1）；2）；3）。解1）由综合除法，可得；2）由综合除法，可得；3）由综合除法，可得。5．求与的最大公因式：1）；2）；3）。解1）；2）；3）。6．求使。1）；2）；3）。解1）因为再由，解得，于是。2）仿上面方法，可得，且。3）由可得。７．设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值。解因为，，且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式为0，即，从而可解得或。８．证明：如果，且为与的组合，那么是与的一个最大公因式。证易见是与的公因式。另设是与的任一公因式，下证。由于是与的一个组合，这就

3、是说存在多项式与，使，从而由可得，得证。９．证明：，的首系数为１）。证因为存在多项式使，所以，上式说明是与的一个组合。另一方面，由知，同理可得，从而是与的一个最大公因式，又因为的首项系数为１，所以。１０．如果不全为零，证明：。证存在使，又因为不全为０，所以，由消去律可得，所以。11．证明：如果不全为零，且，那么。证由上题证明类似可得结论。12．证明：如果，那么。证由假设，存在及使（1）（2）将（1）（2）两式相乘，得，所以。13．设都是多项式，而且。求证：。证由于，反复应用第12题结论，可得，同理可证，从而可得。14

4、．证明：如果，那么。证由题设知，所以存在使，从而，即，所以。同理。再由12题结论，即证。15．求下列多项式的公共根解由辗转相除法，可求得，所以它们的公共根为。16．判别下列多项式有无重因式：1）；2）；解1），所以有的三重因式。2），，所以无重因式。17．求值，使有重根。解易知有三重根时，。若令，比较两端系数，得由（1），（3）得，解得的三个根为，将的三个根分别代入（1），得。再将它们代入（2），得的三个根。当时有3重根；当时，有2重根。18．求多项式有重根的条件。解令，则，显然当时，只有当才有三重根。下设，且为的重

5、根，那么也为与的根，即由（1）可得，再由（2）有。所以，两边平方得，所以。综上所叙即知，当时，多项式有重根。19．如果，求。解令，。由题设知，1是的根，也是的根，此即，解得。20．证明：不能有重根。证因为的导函数，所以，于是，从而无重根。21．如果是的一个k重根，证明是的一个k+3重根。证因为，由于是的重根，故是的重根。代入验算知是的根。现在设是的重根，则是的重根，也是的s-2重根。所以。得证。22．证明：是的重根的充分必要条件是，而证必要性：设是的重根,从而是的重根，是的重根，，是的一重根，并且不是的根。于是而。充

6、分性：由，而，知是的一重根。又由于，知是的二重根，依此类推，可知是的重根。23．举例说明段语“是的重根，那么是的重根”是不对的。解例如，设，那么以0为重根，但0不是的根。24．证明：如果，那么。证要证明，就是要证明（这是因为我们可以把看作为一个变量）。由题设由，所以，也就是，得证。25．证明：如果，那么。证因为的两个根为和，其中，所以和也是的根，且，于是，解之得。得证。26．求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解。解在复数范围内，其中，在实数域内，所以，当为奇数时，有其中，皆为实数。当是偶数时，有27．求下列多

7、项式的有理根：1）；2）；3）。解利用剩余除法试根，可得1）有一个有理根2。2）有两个有理根（即有2重有理根）。3）有五个有理根（即一个单有理根3和一个4重有理根）。28．下列多项式在有理数域上是否可约？1）；2）；3）；4）为奇素数；5）为整数。解1）因为都不是它的根，所以在有理数域里不可约。2）利用艾森斯坦判别法，取，则此多项式在有理数域上不可约。3）首先证明：命题设有多项式，令或，得或则与或者同时可约，或者同时不可约。事实上，若可约，即，从而，这就是说也可约，反之亦然。现在我们用它来证明在有理数域上不可约。令，

8、则多项式变为利用艾森斯坦判别法，取，即证上式不可约，因而也不可约。1）设，令，则由于是素数，因而，但，所以由艾森斯坦判别法，即证在有理数域上不可约，因而也在有理数域上不可约。2）已知，令，可得利用艾森斯坦判别法，取，即证在有理数域上不可约，因而也在有理数域上不可约。29．用初等对称多项式表求出下列对称多项式：1）；2）；3）；4）；5)；6)。