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《高等数学课件(导数、微分)详细》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即二、导数的定义定义其它形式即★★关于导数的说明：注意:★播放2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.★2.右导数:单侧导数1.左导数:★★★三、由定义求导数步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解四、导数的几何意义切线方程为法线方程为例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为五、可导与
2、连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证连续函数不存在导数举例0例如,注意:该定理的逆定理不成立.★01例如,例如,011/π－1/π例8解六、小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考题思考题解答练习题答案2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限
3、位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率
4、)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.一、和、差、积、商的求导法则定理证(3)证(1)、(2)略.推论二、例题分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得例6解三、小结注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导
5、数求.思考题求曲线上与轴平行的切线方程.思考题解答令切点为所求切线方程为和练习题练习题答案一、反函数的导数定理即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证于是有例1解同理可得例2解特别地二、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证推广例3解例4解例5解例6解例7解三、小结反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.思考题思考题
6、解答正确地选择是（3）例在处不可导，取在处可导，在处不可导，取在处可导，在处可导，练习题练习题答案初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)3.复合函数的求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.例1解例2解小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的
7、求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数的复合结构.思考题幂函数在其定义域内（）.思考题解答正确地选择是（3）例在处不可导，在定义域内处处可导，练习题练习题答案一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数求法举例例1解1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解同理可得例5解2.
8、高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式例6解3.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例7解例8解三、小结高阶导数的定义；高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.思考题设连续，且，求.思考题解答可导不一定存在故用定义求练习题练习题答案
