《对数及对数函数》练习题及讲解

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1、《对数及对数函数》练习题讲解知识梳理：1、对数的定义：如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N，那么数b叫做a为底N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。（N>0）2、指数和对数的关系：3、对数恒等式：∴，，4、运算法则：5、换底公式：6、两个较为常用的推论：1°2°（a,b>0且均不为1）7、对数函数定义：函数叫做对数函数；它是指数函数的反函数。8、对数函数图象和性质：aa>10

2、；(2)；（3）（解析(1)，得或．(2)由对数性质得．（3）令=,∴,∴）例2：计算（1）计算：log155log1545+(log153)2（2）（3）解：（1）解一：原式=log155(log153+1)+(log153)2=log155+log153(log155+log153)=log155+log153×log1515=log155+log153=log1515解二：原式==(1-log153)(1+log153)+(log153)2=1-(log153)2+(log153)2=1（2）＝（3

3、）原式变式：计算：（1）（＝1）（2）解：原式12例3：已知，，求．解：由可知，又由，可得，故变式：若log83=p,log35=q,求lg5解：∵log83=p∴又∵∴∴∴例4：比较下列各组数的大小：(1)与(2)，，(3)若．解：(1)由在上单调递增，且，故<．(2)，而，，(3)令，由可知即．则，，在同一坐标系下画出这三个函数的图象，如图示：可知最大，最小，即．变式：比较下列各数大小：(1)(2)(3)解：（1）∵12∴(2)∵∴(3)解：∵∴例5：求下列函数的定义域、值域：(1)(2)(3)(4)解(1)：要使函数有意义，必须：即：值域：∵∴从而∴∴∴(2)∵

4、对一切实数都恒有∴函数定义域为R从而即函数值域为(3)函数有意义，必须：由∴在此区间内∴从而即：值域为(4)要使函数有意义，必须：①②12由①：由②：当时必须当时必须综合①②得当时∴∴变式：求下列函数的定义域(1)(2)(3)解：(1)由得且．所求定义域为．(2)由得，解得，所求定义域为．(3)由得，当时，，当时，．所求定义域为当时，；当时，．例6：已知（）(1)求f(x)的定义域(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；(3)求使f(x)＞0的x的取值范围． 解：（1）令得，即(x+1)(x-1)＜0，故f(x)的定义域为(-1，1)．又因为f(x)的定义域关于原点对称

5、，所以f(x)是奇函数．12变式：求函数的单调区间，并用单调定义给予证明。解：定义域单调区间是设则=∵∴∴又底数∴∴在上是减函数。【练习2】1．求下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式==；（2）原式=2、计算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：12；解法二：=；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。（2）；（3）=．3．已知，，求的值。分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。解：．说明：此题应强调注意

6、已知与所求的内在联系。4、已知，求．分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。解：（法一）由对数定义可知：．（法二）由已知移项可得，即，由对数定义知：，∴．（法三），∴，∴．说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。5、（1）已知，用a表示；（2）已知，，用、表示．12解：（1）∵，∴，∴log34-log36=．（2）∵，∴，又∵，∴=．1．换底公式：(a>0,a¹1；)6、计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；

7、（2）原式=．7．设，求证：．证明：∵，∴，∴．8．若，，求．解：∵，∴，又∵，∴，∴∴．9．若，求．解：由题意可得：，∴，∴．10．已知，比较，的大小。12解：∵，∴，当，时，得，∴，∴．当，时，得，∴，∴．当，时，得，，∴，，∴．综上所述，，的大小关系为或或．11．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（且）．解：（1）令，则，∵，∴，即函数值域为．（2）令，则，∴，即函数值域为．（3）令，当时，，即值域为，当时，，即值域为．12．判断函数的奇偶性。解：∵恒成立，故的定义域为，，所以，为奇函数。13．求函数的单调区间。解：令在上递增，在上递减，