与三角形相关的向量典型问题分析

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1、与三角形相关的向量典型问题分析一、与三角形“四心”相关的向量问题【定理1】已知是所在平面上的一点，若，则是的重心．例1、已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（）.A.外心B.内心C.重心D.垂心【定理2】是所在平面上一点，若，则是的垂心．例2.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）．A.外心B.内心C.重心D.垂心【定理3】已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．例3.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）．A.外心

2、B.内心C.重心D.垂心【定理4】已知是所在平面上一点，若，则是的外心．例4.已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（）。A.外心B.内心C.重心D.垂心二、与三角形形状相关的向量问题1.已知非零向量与满足=0且，则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形2.已知O为△ABC所在平面内一点，满足，则△ABC一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，G为△ABC的重心，且=0,则

3、△ABC为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知△ABC，若对任意，≥，则△ABC()A.必为锐角三角形B.必为钝角三角形C.必为直角三角形D.答案不确定三、与三角形面积相关的向量问题定理：平面内点O是△ABC的重心，则有.例：已知点O是△ABC内一点，=0,则：(1)△AOB与△AOC的面积之比为___________________；(2)△ABC与△AOC的面积之比为___________________；(3)△ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________.结论：四、向量的基本关系(共线、垂

4、直、夹角)定理：A、B、C三点共线，且(O为平面上任一点).例1：在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则=()A.B.C.D.ABCMONE例2：如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n=______.例3：如图，已知点G是△ABC的重心，若过△ABC的重心，记=a,=b,=ma,=nb,则=__________.GABCMPQ例4：(1)已知,,与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.(2)已知，，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.