三角形四心与向量典型问题分析

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1、三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定

2、性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心”的向量风采【命题1】已知是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴.M图⑵图⑴【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心.【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心．【解析】由，得，即，所以-4-．同理可证，．∴是的垂心．如图⑶.图⑷图⑶【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．【解析】由题意，由于，即,所以表示垂直于的向量，

3、即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．　图⑹图⑸【解析】∵，，则由题意得，-4-∵，∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸.【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点，若，则是的外心．图⑺图⑻【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺

4、。【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过-4-的外心。【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻。-4-