第30、31课时 函数模型及其应用

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1、第30、31课时函数模型及其应用教学目标:使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发,进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理,得出数学概念和规律,通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化,找到有效的解题途径——构建数学模型,使实际生活问题抽象为数学问题.逐步把数学知识用到生产、生活的实际中,形成应用数学的意识,培养分析问题和解决问题的能力.教学重点:一是实际问题数学化,二是对得到的函数模型进行解答,得出数学问题的解.教学难点:实际问题数学化.教学过程:[例1]一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0

2、.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份,其余10天只能卖250份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大?并计算每月最多能赚多少钱?  解析:本题所给条件较多,数量关系比较复杂,可以列表分析:  设每天从报社买进x份(250≤x≤400).数量(份)价格(元)金额(元)买进300.206x卖出20x+10×2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200  则每月获利润y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x=0.8x

3、+550(250≤x≤400).  y在x[250,400]上是一次函数.  ∴x=400元时,y取得最大值870元.  答:每天从报社买进400份时,每月获的利润最大,最大利润为870元.点评:自变量x的取值范围[250,400]是由问题的实际意义决定的,建立函数关系式时应注意挖掘. [例2]某人从A地到B地乘坐出租车,有两种方案,第一种方案:租用起步价10元,每km价为1.2元的汽车;第二种方案:租用起步价为8元,每km-13-价为1.4元的汽车,按出租车管理条例,在起步价内,不同型号行驶的里程是相等的.则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适.  答案:当

4、A、B距离在起步价以内时,选择第二种方案;  当A、B距离在(a,a+10)时,选择第二种方案;  当A、B距离恰好为a+10时,选择两种方案均可以;  当A、B距离大于a+10时,选择第一种方案.(其中a为起步价内汽车行驶的里程)点评:信息量大是数学应用题的一大特点,当所给条件错综复杂,一时难以理清关系时,可采用列表分析的方法,有些典型应用题也可以画出相应的图形,建立坐标系等.  [例3]按复利计算利率的储蓄,银行整存一年,年息8%,零存每月利息2%,现把2万元存入银行3年半,求取出后本利的和  解析:3年半本利和的计算问题,应转为3年按年息8%计算,而半年按

5、6个月(月息2%)计算,又由于是复利问题,故取出2(1+8%)3(1+2%)6万元. [例4]某学生离家去学校,为了锻炼身体,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路,下图中,纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该生走法的是(  )  解析:由于d0表示学生的家与学校的距离,因而首先排除A、C选项,又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小,因而排除B,故只能选择D.  [例5]容器中有浓度为m%的溶液a升,现从中倒出b升后用水加满,再倒出b升后用水加满,求这样进行了10次后溶液的浓度     (1-)10·m%  总结解应用题的策略

6、:一般思路可表示如下:-13-  因此,解决应用题的一般程序是:  ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系;  ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;  ③解模:求解数学模型,得出数学结论;  ④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.  [例6]某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税.已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元,每年可销售40万件,若政府增加附加税率为每百元收t元时,则每年销售量将减少t万件.  (1)将税金收入表示为征收附加税率的函数;  (2)若在该项经营

7、中每年征收附加税金不低于600万元,那么附加税率应控制在什么范围?  解析:(1)设每年销售是x万件,则每年销售收入为250x万元,征收附加税金为y=250x·t%.  依题意,x=40-t.  所求的函数关系式为y=250(40-t)t%.  (2)依题意,250(40-t)·t%≥600,即t2-25t+150≤0,  ∴10≤t≤15.即税率应控制在10%~15%之间为宜.注意点:-13-1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时,一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,必要时运用估算和近似计算,以使结果符合实际问题的要求.  2.在实际问题向数

8、学问题的转化过程中,要充

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