离散数学 贾振华 第10章 代数系统

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1、第10章代数系统本章学习目标在一个非空集合上定义某种运算法则和运算规律，称之为具有了代数结构。本章所讲的代数系统是指抽象的概念，即不具体指哪一个系统，运算也不具体是哪一个运算，一旦抽象的系统性质被证实，那么这些结论和方法将用于实际。通过本章学习，读者应该掌握以下内容：（1）二元运算的相关概念和性质（2）半群和独异点的概念及其判定（3）群和子群的概念及其性质（4）阿贝尔群和循环群的概念和性质（5）置换群的概念和伯恩赛德定理（6）陪集、正规子群和商群的概念以及拉格朗日定理（7）群的同态与同构的概念及其判定第10章代数系统10.1二元运算及其性质1

2、0.2代数系统10.3群的定义10.4子群10.5阿贝尔群和循环群10.6置换群与伯恩赛德定理10.7陪集与拉格朗日定理10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算定义10.1.1设A，B，C为集合，如果f是A×B到C的一个映射，则称f是A×B到C的一个代数运算。例如，A=｛所有整数｝，B=｛所有不等于零的整数｝，C=｛所有有理数｝，则f：A×B→C，是一个A×B到C的代数运算，也就是普通的除法。10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算定义10.1.2设A为集合，如果f是A×A到A的代数运算，则称f是A上的一个二元运算，也称作集合A对于代

3、数运算f来说是封闭的。例10.1.1（1）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是。（2）实数集合R上的加法、减法和乘法都是R上的二元运算，但除法不是。10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算（3）非零实数集R*上的乘法、除法都是R*上的二元运算，但加法和减法不是。（4）集合A的幂集P（A）上的集合的并、交都是P（A）上的二元运算。（5）设Mn（R）表示所有n阶（n≥2）实矩阵的集合，则矩阵的加法和乘法都是Mn（R）上的二元运算。。10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算例10.1.2（1）设A={1，2}，则f：

4、（1，1）→1，（2，2）→2，（1，2）→2，（2，1）→1是一个A上的二元运算。（2）设R为实数集合，f：（a，b）→a+ab是R上的二元运算。10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算例10.1.3设A为非零正整数，如下定义A上的二元关系*：计算3*2，2*3。解：3*2=32=9，2*3=23=8类似于二元运算，也可以定义集合A上的n元运算。10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算定义10.1.3设A为集合，n为正整数，An=A×A×A…×A表示A的n阶笛卡尔积。映射f：An→A称为A上的一个n元代数运算，简称n元运算。n个n个

5、10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算例10.1.4（1）求一个数的绝对值是整数集Z，有理数集Q，实数集R上的一元运算。（2）求一个数的相反数是整数集Z，有理数集Q，实数集R上的一元运算。（3）求一个n（n≥2）阶实矩阵的转置矩阵是Mn（R）上的一元运算。（4）R为实数集，令f：Rn→R，（x1，x2，…xn）→x1，则f是R上的n元运算。10.1二元运算及其性质10.1.1二元运算当A为有穷集时，A上的二元运算可以用运算表来给出。设A={a1，a2，…，an}，为A上的二元运算，它的运算表如表10.1-1所示：表10.1-1anan…

6、ana2ana1an……a2an…a2a2a2a1a2a1an…a1a2a1a1a1an…a2a110.1二元运算及其性质10.1.1二元运算例如例10.1.2的运算表是：1222112110.1.2二元运算的性质定义10.1.4设为集合A上的二元运算，若对任意x，y∈A，都有xy=yx，则称该二元运算是可交换的，也称运算在A上满足交换律。例10.1.5设Z是整数集合，是Z上的二元运算，对任意的a，b∈Z，ab=2a+b，问运算是否可交换？解：因为ab=2a+b=2b+a=ba，所以是可交换的。10.1二元运算及其性质10.1.2二元运算的性

7、质定义10.1.4设为集合A上的二元运算，若对任意x，y，z∈A，都有（xy）z=x（yz），则称该二元运算是可结合的，也称运算在A上满足结合律。例10.1.6设A为非空集合，为集合A上的二元运算，对任意的a，b∈A，ab=a，证明是可结合的。证明因为对于任意的a，b，c∈A，（ab）c=ac=a，而a（bc）=ab=a，所以有（ab）c=a（bc），因此运算是可结合的。10.1二元运算及其性质10.1.2二元运算的性质例10.1.7设R为实数集，为集合R上的二元运算，对任意的a，b∈R，ab=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律吗？解因为

8、23=2+2×3=8，而32=3+2×2=7，23≠32，故该运算不满足交换律。又因为（23）4=（2+2×3）+2×4=16，而2（34）=2+2×（3+2×4）