离散数学 贾振华 第五章 函数

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1、第5章函数本章学习目标：函数（又称为映射）是数学中最基本且最重要的概念之一。在高等数学中，函数的概念是从变量的角度提出来，并且是在实数集合上讨论，这种函数一般是连续或间断连续的。在这里，我们将连续函数的概念推广到对离散量的讨论，即将函数看作是一种特殊的二元关系。通过本章学习，读者应掌握以下内容：（1）函数的基本概念（2）单射、满射和双射函数（3）函数的复合运算（4）函数的逆运算（5）置换主要内容5.1函数的概念5.2函数的性质5.3复合函数与逆函数5.1函数的概念定义5.1.1设和Y是任意两个集合，f是一个

2、从X到Y的二元关系，如果f满足：对于每一个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得∈f，则称关系f为X到Y的函数，记作：f：X→Y或XY当∈f时，通常记为y＝f(x)，这时称x为函数的自变量（或原象），y为x在f下的函数值（或映像）。集合X称为f的定义域，由所有映像组成的集合称为函数的值域，记作f(X)。5.1函数的概念解f1是X到Y的函数；f2不是X到Y的函数，因为X中的元素c与Y中的元素都不相关；f3也不是X到Y的函数，因为X中的元素d与Y中的两个元素有关。。例5.1.1判断下列关系中哪个能构

3、成函数。（1）集合X＝{a，b，c，d}，Y＝{1，2，3，4，5，6}，f1，f2，f3分别是X到Y的二元关系，其中f1＝{，，，}f2＝{，，}f3＝{，，，，}5.1函数的概念（2）f＝{

4、x1，x2∈N，且x1＋x2＜10}解f不能构成函数，因为x1不能取定义域中所有的值，且x1可对应很多x2。（3）X={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，Y={0，1}，f为X到

5、Y的关系，对于X中的元素x为偶数时，f，否则f。解f能构成函数，因为对于每一个xX，都有唯一yY与它对应。5.1函数的概念定义5.1.2设函数f：X→Y，g：A→B，如果X＝A，Y＝B，且对于所有的x∈X和x∈A有f（x）＝g（x），则称函数f和g相等，记作f＝g。下面讨论函数的计数问题。例5.1.2设集合X＝{x，y，z}，Y＝{a，b}，试问：X到Y可以定义多少种不同的函数？解f（x）可以取a或b两个值；当f（x）取定一个值时，f（y）又可以取a或b两个值；而当f（y）取定一

6、个值时，f（z）又可以取a或b两个值。因此，从X到Y可定义23种不同的函数。5.1函数的概念例5.2设X和Y都为有限集，且

7、X

8、=m，

9、Y

10、=n，问X到Y可以定义多少种不同的函数？解因为从X到Y的每一个函数的定义域都是X，在这些函数中，每一个恰有m个序偶。另外，对于任何xX，可以有Y中的n个元素中的任何一个作为它的像，所以共有nm个不同的函数。5.2函数的性质定义5.2.1设函数f：X→Y，如果对于X中的任意两个元素x1和x2,，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则称f为X到Y的单（入）射函数。

11、例如，集合X＝{a，b，c}，Y＝{1，2，3，4}，f是X到Y的函数，且有：f（a）＝1f（b）＝2f（c）＝3则f就是从X到Y的单射函数。5.2函数的性质定义5.2.2设函数f：X→Y，如果f（X）＝Y，即Y中的每一个元素是X中一个或多个元素的映像，则称f为X到Y的满射函数。设f：X→Y是满射，即对于任意的y∈Y，必存在x∈X使得f（x）＝y成立。例如，集合X＝{1，2，3}，Y＝{a，b}，f是X到Y的函数，且有f（1）＝af（2）＝bf（3）＝b则f是X到Y的满射函数，但显然不是单射函数。5.2函数

12、的性质定义5.2.3设函数f：X→Y，如果f既是单射函数又是满射函数，则称f为X到Y的双射函数，也称一一对应函数。例如，集合X＝{a，b，c}，Y＝{1，2，3}，f是X到Y的函数，且有：f（a）＝1f（b）＝3f（c）＝2则f是从X到Y的双射函数。5.2函数的性质例5.2.1确定如下关系是否是函数，若是函数，是否是单射、满射、双射。（1）设X＝{1，2，3，4，5}，Y＝{a，b，c，d，e}f1＝{<1，a>，<2，c>，<3，e>}f2＝{<1，a>，<2，e>，<3，c>，<4，b>，<5，c>}f

13、3＝{<1，a>，<2，e>，<3，b>，<4，c>，<5，d>}解（1）f1不是从X到Y的函数，因为domf1＝{1，2，3}≠X；f2是从X到Y的函数，但f2（3）＝f2（5）＝c，ranf2＝{a，b，c，e}≠Y，因此f2既非单射也非满射；f3是从X到Y的双射函数。5.2函数的性质例5.2.1确定如下关系是否是函数，若是函数，是否是单射、满射、双射。（2）设X＝Y＝R（实数集合）f1＝{

14、x∈