复旦金融用随机过程31-随机过程

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1、1随机过程2021/9/1随机过程2在概率论与数理统计中的讨论的随机现象，通常有一个或有穷多个随机变量去描述，所考虑到的试验结果，一般地可用于一个或有穷多个数来表示。许多随机现象仅研究一个或有求多个随机变量，不能揭示有些随机现象的全部统计规律。因为在研究这些现象时，必须考虑变化过程，它所考虑的实验结果要用一个函数或有穷多个数来表示，随机过程的诞生和发展，就是适应这一客观需要的。鞅也是现代金融理论的一个核心工具。引言2021/9/1随机过程3随机过程的定义随机过程的分类按统计特性是否变化分为平稳随

2、机过程和非平稳随机过程按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独立增量过程按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶变差有限，称为有界变差过程。按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。最常见的随机过程或随机模型主要内容2021/9/1随机过程4概率空间(Ω,F，{Ft}t∈Γ,P)上的一簇在Rn中取值的随机变量{t,t∈Γ}就称为随机过程，其中

3、t:Γ×Ω→Rn,t通常理解为时间，Γ为[0,+)或其中的子集，Ft为F上的子－代数，且当ts时，FtFs，于是称{Ft}t∈Γ为F中的－代数流，(Ω,F，{Ft}t∈Γ,P)也常被称为是带－代数流的概率空间。若Γ为[0,+)中的连续区间，即时间参数属于[0,+)中的连续区间，则称{t,t∈Γ}是连续时间的随机过程；若t=0,1,2,…，则称为离散时间的随机过程。显然，随机过程的随机性既与时间有关，又与由Ω决定的不确定性有关。另外，我们会经常用到由随机过程{t}产生的σ－代数

4、流，其中，即是由t时刻以前的t产生的σ－代数，也是使得t可测的最小的σ－代数。随机过程的定义2021/9/1随机过程5按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程统计特性不随时间变化而变化的随机过程，称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化的随机过程，称为非平稳过程。平稳过程的严格定义为：对于时间t的n个任意的时刻t1,t2,…,tn和任意实数C，若随机过程{t}t≥0的分布函数满足Fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=Fn(x1,x2,…,xn;t1+C,t2+C

5、,…,tn+C)，则称为平稳过程。随机过程的分类——平稳随机过程2021/9/1随机过程6平稳随机过程在实际应用中有诸多不便，于是人们又提出了宽平稳随机过程：若随机过程{t}t≥0的均值和协方差存在，且对任意t0，s0，都有Et=a,Cov(t,t+s)=R(s)，则称为宽平稳过程或二阶平稳过程。宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程一定是宽平稳随机过程

6、。2021/9/1随机过程7§3.1时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的单位根检验四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程2021/9/1随机过程8一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型2021/9/1随机过程9⒈常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据（time-seriesdata)；截面数据(cross-sectionaldata)混合截面数据（pooledcross-sectiondata）面板数

7、据（paneldata)★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。2021/9/1随机过程10⒉经典回归模型与数据的平稳性经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项不相关∶Cov(X,)=0依概率收敛：(2)2021/9/1随机过程11第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：第（1）条是OLS估计的需

8、要▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此：注意：在双变量模型中：2021/9/1随机过程12表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下