金融工程随机过程new

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1、随机过程一个随机过程就是随机变量按时间编排的集合。一.平稳随机过程若一个随机过程的均值和方差在时间过程上保持常数，并且在任何粮食其之间的协方差仅依赖于改良时期之间的距离或滞后而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称之为平稳随机过程。在时间序列文献中，这种随机过程被称为弱平稳，协方差平稳，二阶平稳或广义随机过程。令随机时间序列Y有如下性质：t均值：E（Y）=µt22方差：Var（Y）=E(Y−µ)=δtt协方差：R=E[（Y-µ）（Y-µ）]ktt+KR即滞后k的协方差[或自（身）协方差]，是Y和Y，也就是相隔k期的两个Y值之间ktt+K的

2、协方差。假如把Y的原点从Y移到Y，若Y平稳，则Y的均值，方差和自协方差必须和Y的一tt+mtt+mt样。即一个时间序列是平稳的，则它的均值，方差和（各种滞后的）自协方差都保持不变。对一个非平稳时间序列，它要么均值随时间而变化，要么方差随时间而变化，或二者同时发生变化。2若一个随机过程的均值为0，不变方差为σ，而且不存在序列相关，那么称之为纯随机或白噪音（whitenoise）过程。若它还是独立的，称为严格白噪音。二，非平稳随机过程经典的例子是随机步游模型（yandomwalkmode,RWM）.通常认为股票价格和汇率之类的资产价格服从随机

3、步游，即是非平稳的。随机步游一般分为两类，即不带漂移的和带漂移的。（一）不带漂移的随机步游2假设u是均值为0和方差为σ的白噪音误差项，若:tY=Y+u，（1）tt−1t则称Y序列为随机步游，它实际是一个AR（1）模型。t有效资本市场假设者认为，股票价格本质上是随机的，因此股市不存在有利可图的投机空间；如果一个人能基于股票今天的价格预测明天的价格，那我们早就都是百万富翁了。根据（1）式，有：Y=Y+u，101Y=Y+u=Y+u+u，212012Y3=Y2+u3=Y0+u1+u2+u3，因此，有：Y=Y+ut0∑t从而，有：E（Y）=E（Y+

4、）=Y+=Yt0∑ut0∑(Eut)0根据方差的定义，有：22Var（Y）=E（Y）-（EY），ttt2222其中，E（Y）=E[Y+]=E[Y+2Y+（）]t0∑ut00∑ut∑ut22=EY+2YE（u）+E[（u）]00∑t∑t2222=EY0+E[（∑ut）]=Y0+E[（∑ut）]22（∑ut）=Y0，2故Var（Y）=E[（∑u）]tt2=E[（u+u+…u）]12t222=Eu1+Eu2+…+Eut+E（u1u2…）+……222=Eu+Eu+…+Eu，12t222Var（u）=E（u-Eu）=E（u）=σ，tttt2Var（

5、Y）=tσ。t可以看出，Y的均值等于其初始或其始值，但随着t的增加，其方差无限增大，违背了平稳性的条件，因此它是非平稳随机过程。RWM的一个有趣的特征是，随机冲击（即随机误差项）的持久性，根据Y=Y+u，t0∑tY等于初始的Y，加上各期随机冲击项之和。因此，一个特定的冲击永远也不会消失。例t0如，若u=4，则从Y开始所有的Y都将提高4个单位。因此随机游走具有无限记忆，即永22t远记住每次冲击。另根据Y-Y=∆Y=u，虽然Y非平稳，但一阶差分是平稳的。tt−1ttt（二）带漂移的随机步游Y=δ+Y+u,其中σ被称为漂移参数（driftpar

6、ameter）tt−1tY-Y=∆Y=σ+u，tt−1tt它表明Y根据σ为正或负而向上向下漂移。t可以证明，E（Y）=Y+tσt02Var（Y）=tσt可见，带漂移的RWM的均值和方差都随着时间而递增，为非平稳序列。（三）单位根随机过程Y=ρY+u，—1≤ρ≤1，tt−1t若ρ=1，则面临着单位根问题，即非平稳情况，单位根的名称正式源于ρ=1这个事实。因此，非平稳性，随机步游和单位根这三个术语可看成是同义词。但若

7、ρ

8、≤1，则可以证明，时间序列Y在所定义的意义上是平稳的。t假定Y的初始值（=Y）为0，

9、ρ

10、<1，u零均值和单位方差，则E（

11、Y）=0，0tt2Var（Y）=1/（1-ρ）。由于它们都是常数，根据弱平稳性定义，Y就是平稳的。tt（四）去世平稳和差分平稳随机过程大致说来，若一个时间序的趋势完全可以预测而且不变，则称之为确定性趋势。若不能预测，则称之为随机性预测。考虑模型：Y=β+βt+βY+ut123t−1t1.纯随机步游：β=β=0,β=1123Y=Y+u，tt−1t∆Y=u，差分平稳（DSP,differencestatronaryprocess）tt2.带漂移的随机步游：β≠0，β=0，β=1123Yt=β1+Yt−1+utY-Y=∆Y=β+u，tt−1t1

12、t这意味着Y将表现出一个正的（β>0）或负的（β<0）的趋势，这种趋势成为随机趋势。t113.确定性趋势：β1≠0，β2≠0，β3=0，Y=β+βt+u，t12t2它为趋势平稳过程。因为Y的均