多元复合函数的求导法则(I)

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1、第四节多元复合函数的求导法则第八章一元复合函数求导法则微分法则第四节多元复合函数的求导法则第八章一、多元复合函数求导的链式法则二、一阶全微分的形式不变性一、多元复合函数求导的链式法则定理8.5则证特别地，且由定理8.3(可微与偏导数连续的关系)的证明，知类似地，可以证明：注1º复合关系图(结构图)即关系图中因变量到达某自变量的路线有几条，函数对该自变量的偏导数就由几项相加而成；且其中每一项是由同一条路线中的各偏导数相乘而得到的.口诀:“项数=通向该自变量的路径数”.“连线相乘，分线相加”;“单路全导,叉路偏导”2º其他情形函数关系关系图求导公式zuvx全导数uzvxy

2、函数关系关系图求导公式uyxzzwxxyyzwxuvyyx★变量x一身兼两职即★两者的区别zwxxyyyzwxuvyx把复合函数中的y看作不变,而对x的偏导数若将定理条件：3°如:可复合为偏导数连续减弱为偏导数存在,则定理结论不一定成立.解(方法1)1.中间变量均为多元函数的复合函数例1画出关系写出公式求出各偏导数将x,y代入(方法2)(对x求偏导数时，暂视y为常数)例2解uwvyxz若使用记号:则上述结果可表示为:uwvyxz2.中间变量均为一元函数的复合函数例3解xuv推广:当中间变量多于两个时，例如:假设下面所涉及到的函数都可微.3.中间变量只有一个的复合函数例

3、4解(方法1)zuxy4.中间变量既有一元函数，又有多元函数的复合函数解(方法1)uzxxyy例5(方法2)uvxyzxy注对具体函数，用方法2较简单.例6解vwxxy(乘积求导法则)vwxxyuxfwxxy例7-2解z,u,v,x,y的关系为化简得这是一个二阶双曲型偏微分方程的标准形式.可得二、一阶全微分的形式不变性当u,v是自变量时，有当u,v是中间变量时，若均有连续的偏导数，则dz无论u,v是自变量还是中间变量,函数的一阶全微分表达形式都一样,均为——一阶全微分形式不变性一阶全微分形式不变性的实质:例4解(方法2)由一阶全微分形式不变性，得例5(方法3)内容小结

4、1.多元复合函数求导的链式法则“连线相乘,分线相加,单路全导,叉路偏导”例如,2.一阶全微分的形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,例3-1解12yxxx备用题例3-2设求全导数解例4-3解例6-1解uzxxytxzfgh(当在二、三象限时,)例7-3设二阶偏导数连续,求下列表达式在解已知极坐标系下的形式(1),则注意利用已有公式同理可得