多元复合函数求导法则(I)

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1、7-5多元复合函数求导法则1复习1.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续2.多元函数全微分的求法；2第四节本节内容:一、全导数公式二、偏导数公式多元复合函数的求导法则第七章三、全微分形式不变性3设y=f(u),而则复合函数的导数为问题:复合而成，则即复合而成，则回顾：一元复合函数的求导法则（链式法则）4一、全导数公式定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数且有链式法则则有I.复合函数的中间变量均为一元函数的情形：证:由已知可微又有在点t处可导则有5代入：(称为全导数)若定理中说明:偏导数连续减弱为可微,则定理结论仍成立.口诀:同路相乘，异路相

2、加.6注意：推广1：结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.则7推广2：结论还可推广到两个中间变量、一个自变量的情况.如：则8例1设求全导数解若要计算只须算出此时则9例2解10(中间变量是多元函数的情形).二、偏导数公式定理如果函数及都在点具有对x和y的偏导数，且函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算链式法则如图示同路相乘，异路相加.方法：11类似地还可以推广：设具有连续偏导数,而都具有偏导数，则复合函数有对自变量x、y的偏导数，且求多元复合函数的导数的步骤：

3、画出变量关系图；由关系图得出求导公式;求出所需的偏导数(或导数);代入公式,化简即可.12例3设而求及解13例4设f具有连续的偏导数，证明：证令是由复合而成.于是则则复合函数14注意：推广1：结论可中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形：如zuvxy则说明：这里v与x无关，且在一元函数求导时，将记号改为“d”.15例5设求和解16推广2：结论还可推广到有的变量既是中间变量又是自变量的情况.如：而则复合函数具有对x和y的偏导数.从而有17注：与的区别：从而有常数而对x求偏导；是在未经复合的函数中，把u和y看作常数而对x的偏导数.是把复合函数中的y看作

4、而与类似.18例6设而求及解19例7设解求20例8设f具有二阶偏导数，求解令则引入记号wuvxyz21而于是22回顾：一元函数微分形式的不变性设函数有导数(1)若u是自变量时，(2)若u是中间变量时，即另一变量t的可微函数则结论：无论u是自变量还是中间变量，微分形式总是的函数二、全微分形式不变性23二、全微分形式不变性设函数具有连续偏导数，则全微分当时，有全微分形式不变形的实质：无论z是自变量u、v的函数或是中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.24设25例9解设其中f具有一阶连续偏导数，求du及261、链式法则（分三种情况）（特别要注意特殊情况）

5、三、小结(1)(2)(3)注：有几个中间变量就有几项,有几层复合就有几层乘积.2、全微分形式不变性（理解其实质）27作业：P307,1(1),2(3),(5),(7)预习：从308到311页28