线性代数第二章方阵的行列式

《线性代数第二章方阵的行列式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、线性代数第二章第二章方阵的行列式本章教学内容§1n阶行列式的定义§2方阵行列式的性质§3展开定理与行列式的计算§1n阶行列式的定义1.排列与逆序数定义由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数组i1i2…in称为一个n级排列，简称排列.例3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个性质不同的n级排列共n!个.排列123，从小到大排，全顺；排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序定义在一个排列i1i2…in中,若it>is中,但it排在is之前，则称it与is组成一个逆序.i1i2…in中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,记为(i1i2…in).§1n阶

2、行列式的定义公式若排列i1i2…in中,it之后有kt个数比it小(t=1,2,…,n-1),则(i1i2…in)=k1+k2+…+kn-1.例(53421)=(52431)=定义逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列；例(53421)=9,∴53421为奇排列；(52431)=8,∴52431为偶排列。作一次对换改变了排列的奇偶性§1n阶行列式的定义定义将一个排列的两个元素对调，而其余元素不动，这种构成一个新排列的变换称为对换.定理1.1一次对换必改变排列的奇偶性.(证略)例1设3x452y是一个6级奇排列，求x,y.解(314526)=2+0+1+1

3、+0=4,∴314526是偶排列，364521是奇排列，∴x=6,y=1.推论所有n级排列中奇偶排列各占一半，例n级排列n(n-1)…21是奇排列还是偶排列？解(n(n-1)…21)=(n-1)+(n-2)+…+1所以当n=4k或n=4k+1时，n(n-1)…21是偶排列；当n=4k+2或n=4k+3时，n(n-1)…21是奇排列.(上述n为正整数，k为整数)§1n阶行列式的定义2.n阶行列式的定义我们已学过二阶行列式与三阶行列式二阶行列式例一种算式行列式的值§1n阶行列式的定义三阶行列式例下面我们来观察三阶行列式的值的特点§1n阶行列式的定义三阶行列式1.右边每项都是三个元素的乘积

4、，这三个元素位于行列式的不同行、不同列，除正负号外均可写成的形式，第一个下标(行标)排成标准排列123，第二个下标(列标)排成一个3级排列j1j2j3，3级排列共有3!=6个，故右边共有6项。§1n阶行列式的定义三阶行列式2.带正号的三项，列标排成排列123,231,321,均是偶排列；带负号的三项，列标排成排列321,213,132,均是奇排列，因此三阶行列式的值可写为表示对所有不同的3级排列求和§1n阶行列式的定义仿三阶行列式，可定义n阶行列式定义1.1n阶方阵A=(aij)的行列式记为A或detA.也称为n阶行列式.注1.均布项共有n!个，一半取正号,一半取负号；2.当n>3

5、时，不宜用“对角线法则”计算行列式的值表示对所有不同的n级排列求和均布项符号因子来自不同行不同列的n个元素的积§1n阶行列式的定义3.一阶行列式a11=a11,例一阶行列式-2=-2，(这不是绝对值)4.行列式的值也可定义为§1n阶行列式的定义例2证明证当i>j时，aij=0,则j1=1，j2=2，…，jn=n，即可能不等于零的均布项只有a11a22…ann，又(12…n)=0,即此项的符号为正号，所以D=a11a22…ann§1n阶行列式的定义仿例2证明可知§1n阶行列式的定义例4其中A11,A22,为方阵.例§1n阶行列式的定义更一般的有§1n阶行列式的定义本节学习要

6、求理解逆序数、奇排列与偶排列概念，会求一个排列的逆序数，会判断一个排列的奇偶性；理解行列式的概念，会判断某一个均布项的符号，熟悉上(下)三角形方阵、对角方阵的行列式的值。作业：习题2.1(A)第1(1),3,5题§2n阶行列式的性质本节教学内容1.行列式的性质2.方阵行列式的性质§2n阶行列式的性质1.行列式的性质为了方便行列式的计算，我们来讨论行列式的性质.§2n阶行列式的性质性质2.1行列式具有分行可加性，即§1n阶行列式的定义证§2n阶行列式的性质性质2.2设A为方阵，则AT=A证性质2表明，行列式对行成立的性质，对列也成立.由性质1、2有§2n阶行列式的性质性质2.1

7、行列式具有分列可加性，即§2n阶行列式的性质例推论行列式的某一行(列)的元素全为零，则行列式的值为零.证设行列式的第i行(列)的元素全为零，因行列式的均布项都含第i行(列)的元素，故其值为零.§2n阶行列式的性质性质2.3即或§1n阶行列式的定义证第一式再由性质2得第二式.推论2.1行列式的某一行(列)的公因子可提到行列式的外面.§2n阶行列式的性质性质2.4即←第j行←第i行§2n阶行列式的性质或§1n阶行列式的定义证第一式再由性质2得第二式