线性代数1.6方阵的行列式.ppt

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1、第一章矩阵§1.6方阵的行列式回忆:①§1.5一开始提出的问题.③习题1(B)第17题:a11a12a21a22A=可逆②一阶方阵a可逆a0.a11a22a12a210a11a12a21a22D=0.第一章矩阵§1.6方阵的行列式§1.6方阵的行列式历史上,行列式因线性方程组的求解而被发明G.W.Leibniz[德](1646.7.1~1716.11.14)S.Takakazu[日](1642?~1708.10.24)第一章矩阵§1.6方阵的行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2(a11a22a12a21)x2=a11b2b

2、1a21当a11a22a12a210时,a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.消元法由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义即一.行列式(determinant)的定义主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11a12a21a22记D=,b1a12b2a22D1=,a11b1a21b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=

3、D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21例1解二、三阶行列式定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)沙路法三阶行列式的计算.列标行标(2)对角线法则注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．第一章矩阵§1.6方阵的行列式例2.124221342=14.第一章矩阵§1.6方阵的行列式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列

4、划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式(minor),记作Mij,令Aij=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式(cofactor).例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a11a13a14a21a23a24a41a43a44M32=,代数余子式A32=(1)3+2M32=M32.a11a12a13a21a22a23a31a32a33第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11的余子式:a22a23a32a

5、33M11=代数余子式:A11=(1)1+1M11a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13a21a22a31a32a11a12a13a21a22a23a31a32a33第一章矩阵§1.6方阵的行列式3阶方阵A=的行列式

6、A

7、定义为a11a12a13a21a22a23a31a32a33

8、A

9、=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11A11+a12A12+a13A13=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a

10、32a12a21a33a13a22a31.第一章矩阵§1.6方阵的行列式补充.数学归纳法(Principleofmathematicalinduction)1.第一数学归纳法原理:则P对于任意的自然数nn0成立.设P是一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立.②当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,第一章矩阵§1.6方阵的行列式2.第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立,②由“n0nk时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11

11、a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=a11A11+a12A12+…+a1nA1n假设n1阶行列式已经定义,=a11(1)1+1M11+a12(1)1+2M12+…+a1n(1)1+nM1nn1阶行列式(LaplaceExpansionofDeterminants)P.-S.Laplace[法](1749.3.23~1827.3.5)则定义n阶行列式说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行