线性代数课件第2章矩阵

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1、第2章矩阵2.1矩阵的概念1课件2.1.1矩阵的定义定义1由个数按一定顺序排成行列的数表称为一个行列矩阵，简称矩阵，记为或，其中表示位于第行第列的数,称为的元素（或元），所以矩阵也可以简记为或．．2课件2.1.2几种特殊形式的矩阵（1）行矩阵当时，即只有一行的矩阵或称为行矩阵或行向量．（2）列矩阵当时，即只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量．3课件（3）零矩阵所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为．例如，的零矩阵可记为（4）方阵行数和列数都等于的矩阵，称为阶矩阵或阶方阵，记为，．4课件即其中元素称为阶方阵的主对角元素，过元素的直线称为阶方阵的主对角线．（5）阶对角阵非主对角元

2、素全为零的阶方阵称为阶对角矩阵，即5课件记为或其中未写出的元素全为零．6课件（6）阶单位矩阵主对角元素全为1，其余元素全为零的阶方阵称为阶单位矩阵，即且记为或7课件（7）阶数量矩阵主对角元素等于同一个数的阶对角阵，称为阶数量矩阵，记为或．8课件2.2矩阵的运算9课件2.2.1矩阵的线性运算1．矩阵的加法定义2两个的同型矩阵和的对应元素相加，所得的矩阵称为矩阵与的和,记为，即10课件例1设则而无意义．11课件2．数与矩阵的乘法定义3用数乘以矩阵的所有元素，所得的矩阵称为数与矩阵的数乘矩阵，简称数乘，记为，即当时，称为矩阵的负矩阵，显然有12课件所以矩阵的减法可定义为矩阵的

3、加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算，其运算规律：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．．．13课件例2设且，求矩阵．解在等式两端同加上，得14课件上式两端同乘，得15课件2.2.2矩阵与矩阵相乘定义4设是一个矩阵，是一个矩阵，则规定与的乘积是一个矩阵，其中记为16课件例3设矩阵求乘积．解17课件例4设矩阵，求及．解18课件例5设，求与．解，19课件矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）：（1）结合律：（2）分配律：（3）对任意数有（4）设是矩阵，则，或简记为即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似于乘法中的数1．20课件定义5方阵的次幂定义为个方阵连乘，

4、即其中为正整数，规定，其运算规律：（1）；（2）为正整数．因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个阶方阵与，一般来说21课件2.2.3矩阵的转置定义6将矩阵的行换成同序数的列，所得的矩阵称为的转置矩阵，记为或，即其运算规律：（1）；；22课件（2）；（3）；（4）．例6已知求．解法1因为23课件所以解法224课件定义7设为阶方阵，若满足，则称为对称矩阵，即其特点是：关于主对角线对称的元素相等．若满足，则称为反对称矩阵，即，当时，，其特点是：关于主对角线对称的元素相反，主对角线上的元素全为零．25课件2.2.4方阵的行列式定义8由阶方阵的所有元素（位置不变）构成的行列式，称为方

5、阵的行列式，记为或，即其运算规律：（1）（行列式性质1）；（2）为阶方阵）；（3）26课件2.2.5共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵．其运算规律（设，为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）：（1）；（2）；（3）．27课件2.3逆矩阵28课件2.3.1逆矩阵的定义及性质定义9设为阶方阵，若存在阶方阵，使，则称方阵可逆，为的逆矩阵．若可逆，则的逆矩阵是惟一的．可逆矩阵的性质：(1)若可逆，则其逆阵也可逆，且（2）若可逆，则也可逆，且29课件（3）若可逆，为非零常数，则也可逆，且（4）若，为同阶可逆阵，则也可逆，且；30课件2.3.2方阵可逆的充分必

6、要条件及的求法定义10设阶方阵由的行列式的所有元素的代数余子式所构成的阶方阵称为矩阵的伴随矩阵.31课件定理1设是阶方阵，为的伴随矩阵，则定理2阶方阵可逆，且推论若，则．32课件例1设判断是否可逆，若可逆，求．解因为33课件所以可逆，又因为有34课件所以例2设求矩阵，使满足.解若，存在，则用左乘上式，右乘上式，35课件有即　　．由例1知，可逆，且又因，也可逆，且36课件所以37课件2.4分块矩阵38课件2.4.1分块矩阵的概念设是矩阵，用若干条横线和竖线将矩阵分成若干个小块，每一小块作为一个小矩阵，称为的子块（或子矩阵），在进行矩阵运算时，可以将的每一个子块作为一个元素

7、，这种以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．39课件2.4.2分块矩阵的运算1.分块矩阵的线性运算①分块矩阵的加法设与为同型矩阵，且以相同的方式分块，即其中与也是同型矩阵，则40课件②数与分块矩阵的乘法设为数，则41课件2.分块矩阵的乘法设为矩阵，为矩阵，若它们的分块矩阵分别为其中子块的列数分别等于子块的行数，即矩阵的列的分法与矩阵的行的分法一致，则42课件其中例1设求．43课件解将、分块成44课件45课件3.分块矩阵的转置设则4．分块对角阵及其运算设为阶方阵，若的分块矩阵的主对角元素为非零子块，其余子块均为零子块，且非零子块均为方阵，