线性代数第2章 矩阵课件.ppt

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1、暨大珠院第二章矩阵一.矩阵的基本概念与运算二.矩阵的分块三.逆矩阵矩阵的初等变换、初等矩阵与矩阵的秩暨大珠院一.矩阵概念1.矩阵的定义简记为暨大珠院实矩阵:元素是实数;复矩阵:元素是复数.规定:例如：是一个实矩阵,是一个复矩阵,暨大珠院2.一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或不同阶数的零矩阵是不相等的.注意：例如：暨大珠院行矩阵(RowMatrix):只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).列矩阵(ColumnMatrix):只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).暨大珠院是一个3阶方阵.方阵(SquareMatrix):行数与

2、列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作例如：暨大珠院对角元素都为零的矩阵。方阵,主对角元素不全为零，非主对角阵(DiagonalMatrix):暨大珠院单位矩阵(IdentityMatrix):方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零的矩阵。记作:暨大珠院数量矩阵(ScalarMatrix):方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零的矩阵。暨大珠院二.矩阵的基本运算1.矩阵相等.同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等矩阵相等:暨大珠院例：得到：x=3,y=2,z=-8暨大珠院2.矩阵的加减法加法:设有两个矩阵那末矩阵与的和记作规定为暨大珠院注意：只有当两个矩阵是同型矩

3、阵时，才能进行加法运算.例如：暨大珠院减法:负矩阵：称的负矩阵。为矩阵暨大珠院矩阵加法满足的运算规律:暨大珠院数乘:3.数与矩阵相乘暨大珠院注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.暨大珠院（设为矩阵，为数）数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.暨大珠院4.矩阵与矩阵相乘矩阵，其中是一个的乘积与矩阵规定矩阵定义：设矩阵，是一个是一个矩阵，那末暨大珠院例１：例2：求AB暨大珠院解:故暨大珠院注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如:不存在.暨大珠院（其中为数）;矩阵乘法满足的运算规律：暨大珠院注意：矩阵乘法不满足交换

4、律例:设则暨大珠院矩阵乘法不满足消去律但是有例如：暨大珠院并且若A是n阶方阵，则方阵的幂：即次幂，为A的暨大珠院方阵的多项式：规定：性质：若都是的多项式，则暨大珠院例:的转置矩阵。得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列定义:把矩阵5.矩阵的转置记作暨大珠院转置矩阵满足的运算规律：暨大珠院为对称轴对应相等.说明：对称阵的元素以主对角线称为对称阵.那末，即阶方阵，如果满足对称阵:设为暨大珠院反对称阵:注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院6.方阵的行列式定义:的行列式规定并表示为：n阶矩阵A暨大珠院性质：设都是阶矩阵,是常数，则暨大珠院7.共轭

5、矩阵定义:设矩阵为复矩阵，用表示的共轭复数，记：则称为的共轭矩阵性质：暨大珠院四.逆矩阵定义：唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.暨大珠院逆矩阵的求法一：待定系数法例1:设解：设是的逆矩阵,则暨大珠院定义：n阶矩阵的伴随矩阵为:性质：是矩阵中元素的代数余子式暨大珠院2.矩阵可逆的判别定理及求法定理:证明：暨大珠院暨大珠院奇异矩阵：（退化矩阵）非奇异矩阵：（非退化矩阵）暨大珠院证明：推论：暨大珠院注：暨大珠院(2)暨大珠院3.可逆矩阵的运算性质暨大珠院暨大珠院可逆，则有(5)若暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨

6、大珠院五.矩阵的分块.1.分块矩阵的定义对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.暨大珠院做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.暨大珠院2.分块矩阵的运算规则暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院即矩阵列的分法与矩阵行的分法相同暨大珠院暨大珠院暨大珠院3分块对角阵的行列式与逆阵暨大珠院则：暨大珠院五、矩阵分块的应用暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院暨大珠院六、矩阵按行、列分块暨大珠院暨大珠院暨大珠院如果把系数矩阵A按行分成m块，则线性方程组　　　

7、可记作暨大珠院如果把系数矩阵A按列分成n块，则线性方程组　　　可记作暨大珠院对于矩阵　　　　与矩阵　　　　的乘积　　　　　　　，若把矩阵A按行分成m块，把矩阵B按列分成n块，便有：暨大珠院定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:六.矩阵的初等变换与初等矩阵1.矩阵的初等变换同理可定义矩阵的初等列变换暨大珠院定义2：暨大珠院等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价关系．暨大珠院2.初等矩阵得到的方阵称为初等矩阵.由单位矩阵经过一次初等变换定义3：暨大珠院(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵。暨大珠院得初等倍乘