定积分几何应用(III)

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1、第八节定积分的几何应用一、微元法二、平面图形的面积第四章三、旋转体的体积以及已知平行截面面四、平面曲线的弧长积函数的立体体积回顾曲边梯形求面积的问题一、微元法abxyo（2）就是说，如果把区间分成许多部分区间，对于区间具有可加性，相应地分成许多部分量，则等于所有部分量之和；而（1）是与某个变量的变化区间有关的量；微元法的一般步骤：这个方法通常叫做微元法．设想把区间分成个小区间，并记为，求出相应于这小区间的部分量近似值.若可近似地表示为某个函数与把称为量且记作，即；2）取其中任一小区间的的微元曲边梯形的面积微元

2、曲边梯形的面积微元1.直角坐标系情形二、平面图形的面积曲边梯形的面积为解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积解两曲线的交点选为积分变量说明：注意各积分区间上被积函数的形式．如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积在[,]（或解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积2.极坐标系情形曲边扇形面积解利用对称性知例6求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案:旋转体就是由一个平面图

3、形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥1、旋转体的体积圆台三、立体体积旋转体的体积为（薄片法）解直线方程为解(柱壳法)柱壳体积柱面面积利用这个公式，可知上例中解法1利用柱壳法解法2体积微元为2.已知平行截面面积的立体的体积如果知道一个立体垂直于一定轴的各个截面面积，立体体积那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积四、平面曲线的弧长定义当折线段的最大边长→0时,若折线的长度趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可

4、求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)1、曲线弧由直角坐标方程给出:曲线弧方程为因此所求弧长设则即得弧微分(弧长微元)也可写成曲线弧为2、曲线弧由参数方程给出:弧长微元:因此所求弧长曲线弧为弧长3、曲线弧由极坐标方程给出:解所求弧长为解解根据对称性第一象限部分的弧长解作业P3161(2)(6)2(1)3(2)6.7.9(1)(6)10(1)(3)12(1)(2)13.14.