定积分几何应用(I)

《定积分几何应用(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四节定积分的几何应用二、平面图形的面积三、平面曲线的弧长四、某些特殊的几何体的体积一、微元法基本思想★P336五、旋转曲面的表面积一、微元法基本思想1.回顾曲边梯形的面积问题具体步骤“四步曲”把原曲边梯形分成n个窄曲边梯形,（1）分割（2）取点（4）取极限记作abxyo第i个窄曲边梯形面积记为Si;（3）求和解决实际问题时按照下面步骤自变量分割科学规律转为微分直接积分简化为如曲边梯形的面积问题然后把dS在[a,b]上作定积分，这就是所说的微元法或元素法abxyo或者2.应用微元法的一般步骤：(1)根据具体问题，选取一个变量x为积分

2、变量，并确定它的变化区间[a,b]；(2)在[a,b]上，任取一小区间[x,x+dx]；应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；旋转体的表面积；功；水压力；引力等.二、平面图形的面积1.直角坐标情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积例1.计算两条抛物线y=x2，y2=x所围图形的面积。解：由取x为积分变量,变化范围为[0,1]得面积元素(1,1)Oy=x2y2=xyx1x+dxx1yy+dy得交点P314例7.4.2说明也可取y为积分变量,选x作积分变量，则x的取值范围是[0,]例2.求y=sinx,y=sin2x(0x)所

3、围图形的面积。解：由得交点(0,0)，,(,0)yOxy=sin2xy=sinx例3.解.不妨设x>0.于是,由于两式相除,得解得说明双曲正弦、双曲余弦的由来2.三角函数统称为圆函数的原因P314例7.4.1曲线由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积2.参数表示的情形例4.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式P314例7.4.3例5.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积。解:xy2ao说明常用几何曲线的图形见P333-336.P316例7.

4、4.43.极坐标的情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为极坐标表示的情形解:由对称性知，总面积=4倍第一象限部分面积例6.求双纽线所围图形面积.P3301(12)解:利用对称性,例7.求心形线所围图形的面积例8.求三叶玫瑰线围成图形的面积.解:由对称性,只求半叶玫瑰的面积P318例7.4.6例9.计算心形线与圆所围公共部分的面积。解:利用对称性,所求面积下次课内容预告：定积分的几何应用(续)1.曲线的弧长2.特殊立体的体积3.旋转体的侧面积作业P3291(1)

5、(2)(7)(11)(13)本次课内容小结1.微元法2.平面几何图形的面积或者三、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.则称问题:1.什么样的曲线是可求长的?2.当曲线可求长时,如何确定其弧长?说明光滑曲线的切线是连续变动的定义7.4.1定理7.4.1若由参数方程确定的曲线是光滑曲线,则它是可求长的,其弧长为证明参考P319-320,略.将称为弧长的微分1.曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长

6、2.曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长3.曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):注意:求弧长时积分上下限必须上大下小。P320例7.4.7自学例10.计算摆线一拱的弧长.解:P321例7.4.8解：例11.求心形线的长度.P3303(6)推广设在上连续,且则由参数方程所确定的曲线的弧长为例12.求圆锥螺线第一圈的长度.解.圆锥螺线第一圈的长度四、某些特殊几何体的体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,1.平行截面面积已知的立体的体积例1

7、3.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.P323例7.4.10自学,注意与本题的区别!2.旋转立体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做旋转轴。圆柱圆锥圆台成的立体体积，考虑连续曲线段旋转体的体积为当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有绕x轴旋转一周围取x作积分变量,在[a,b]上任取小区间[x,x+dx]薄片的体积元素为解：例14.椭圆所围图形分别

8、绕x轴、y轴旋转而生成立体的体积。绕x轴旋转时，(利用对称性)椭圆参数方程特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积(利用对称性)绕y轴旋转时，椭圆参数方程(1)曲线的参数方程为说明解：旋转体的体积(利用对称性)例15.求