定积分的换元法与分部积分法(IV)

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1、第三章一元函数积分学第六节定积分的换元法与分部积分法主要内容：一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法1一、定积分的换元法不定积分中有换元积分法,而牛顿—莱布尼茨公式说明定积分的计算可以直接利用原函数来计算相应定积分,下面的例子说明引入定积分相应的积分方法的必要性.2例1求积分解首先求出函数的原函数.由积分方法,对积分做三角代换则于是3因此如果在换元的同时,我们将上下限按替换成的上下限,即及则4可以看到这样的做法大大简化了原有的计算,这种方法叫做定积分的换元法.自然会问:在什么条件下可以保证上述做法是正确的?为此有下面的定理:5（1）则有定理

2、1设函数在上连续,如果函数单调且具有连续导数,若满足条件证由条件,（1）式中等式两边的定积分存在,且原函数也存在,设是的一个原函数,则6另外,对与的复合函数即是的一个原函数.所以由复合函数求导法则,得求导,这样就证明了（1）.7注在定积分的换元公式中,要注意当用把原来的变量换为新变量时,积分限也要换为相应于新变量所对应的积分限.（1）则有定理1设函数在上连续,如果函数单调且具有连续导数,若满足条件8例1计算解令则原式=当x=0时,t=2;当x=1时,t=19例2解或提示：提示：换元一定要换积分限不换元积分限不变10证明例3设f(x)在[

3、a,a]上连续,证明并计算11注:例4设f(x)在[a,a]上连续,证明(1)当f(x)为奇函数时,(2)当f(x)为偶函数时,练习12证明例5若f(x)在[0,1]上连续,证明13(2)令xpt.因为例5若f(x)在[0,1]上连续,证明证明14例6计算解例5若f(x)在[0,1]上连续,证明15二、定积分的分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数由(uv)uvuv得uv(uv)uv等式两端在区间[ab]上积分得这就是定积分的分部积分公式16解例717例8计算解原式=18解例9由此

4、得19公式:注意:为正偶数为大于1的正奇数例920例10求解ttxdcos2d=21一、定积分的换元法小结二、定积分的分部积分法22课后练习习题3-61–723