定积分课件(梁淑莲

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1、第六章定积分10xyy=x2本章基本内容1定积分的概念与性质2定积分基本公式3定积分的积分法4广义积分本章学习目的理解定积分的概念和意义，掌握定积分的运算规则和性质熟练掌握和应用牛顿---莱布尼兹公式熟练掌握定积分的计算方法了解无限区间上广义积分的定义和计算一、定积分问题举例例1.求曲边梯形的面积boxya图6－1y=f(x)注:设y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续。由直线x=a,x=b,y=0,及曲线y=f(x)所围成的图形,称为曲边梯形。其中曲线弧称为曲边.第一节定积分的概念与性质曲边(1)分割：分析：（2）取近似：（3）求和：bo

2、xya图6－1y=f(x)(1)分割：boxya图6－1y=f(x)分析：（2）取近似：（3）求和：（4）取极限：boxyay=f(x)(1)分割：将[a,b]分成n个小区间,称为子区间.过每个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，设其面积为∆Ai(i=1，2,…,n).记分点为（2）取近似：在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点i，boxyay=f(x)（3）求和：所有小矩形的面积和，即得曲边梯形面积A的近似值boxyay=f(x)即:（4）取极限：使每个小区间的长度趋于零，例2.变速直线运动的路程.设某物体作变速直线

3、运动.已知速度V=V(t)是时间间隔[a,b]上的连续函数.计算在这段时间内物体所经过的路程S.分析：对于匀速直线运动，V=V(t)是常数，用匀速运动近似代替变速运动，求出路程的近似值，通过取极限，算出所求路程。具体过程如下：此时，路程=速度X时间。现在，速度不是常数而是随时间变化的变量，因此，路程不能按上述公式来计算。然而，由于速度是连续变化的，在较短的时间内速度变化不大，近似于匀速，可仿照上例，将时间间隔[a,b]分割，在每一小段内，(1)分割：匀速直线运动.路程＝速度×时间在[a,b]内任意插入若干个分点[a,b]分成n个小段：[t0,

4、t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn]（2）取近似：在每个子区间[ti-1,ti]上任取一点i由时刻ti-1到时刻ti走过的路程为Si（3）求和：将所有这些近似值求和，得到路程的近似值，即将时间间隔[a,b]分得越细,近似公式越精确.即:（4）取极限：的极限就是所求的路程。例1与例2小结例1曲边梯形面积为例2变速直线运动的路程为以直代曲以匀速代非匀速求曲线弧的长度:求变力作功：设质点m受力变F的作用沿x轴由点a移至点b，并设力F平行于x轴。求变力F对质点所作的功W？oxabΔWiF(xi)m变力F(x)二、定积分定义1.定义:

5、设函数f(x)在[a,b]上有界,将[a,b]任意分成n个子区间,分点为在每个子区间[xi-1,xi]上任取一点i,i[xi-1,xi],则称这个极限值为函数f(x)在[a,b]上的定积分.记成被积函数积分符号积分下限积分上限积分变量称为积分区间Sf(x)dx叫做被积表达式.根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：例1曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即例2作变速直线运动的路程S是速度函数V=V(t)在时间间隔[a,b]上的定积分：1.几点说明：（

6、1）设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积.(2)定积分数值与积分变量记号无关：定积分的数值只与被积函数及积分区[a,b]有关,与积分变量的记号无关.(3)规定当a=b时,(4)规定当a>b时,2.定积分的几何意义.(1)若当x[a,b]时,连续函数f(x)0bAoxyay=f(x)A(2)若当x[a,b]时,连续函数f(x)0,oxyaby=f(x)A若当x[a,b]时,连续函数f(x)既取得正值,又取得负值时，y=f

7、(x)oxyabA1A2A3（3）性质1两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即：6.1.4定积分的基本性质设下面函数f(x)，fi(x)，g(x)在[a,b]上可积.例：推论有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即例：性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外.例：综合性质1和性质2得：例：性质3如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b],则oxyabc移项：当c在区间[a,b]之外时：性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分oxyacb例1解OXY121利用定积分的几

8、何意义，可分别求出OXY121性质4oxyab1性质5推论性质6（定积分估值定理）设M和m分别是ƒ(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值，则证明：例2解性质7(定