导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例(I)

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1、1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会利用导数解决某些实际问题．[理要点]一、函数的单调性与导数1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系：(1)若，则f(x)在这个区间内单调递增；(

2、2)若，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若，则f(x)在这个区间内是常数．f′(x)>0f′(x)<0f′(x)＝02．利用导数判断函数单调性的一般步骤．(1)求；(2)在定义域内解不等式；(3)根据结果确定f(x)的单调区间．f′(x)f′(x)>0或f′(x)<0二、函数的极值与导数1．函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．f

3、′(x)＜0f′(x)＞02．函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．f′(x)＞0f′(x)＜0三、函数的最值1．如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．连续不断2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数

4、y＝f(x)在(a，b)内的．(2)将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．极值端点处的函数值f(a)、f(b)[究疑点]1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．导数为0的点一定是极值点吗？提示：不一定．如f(x)＝x3，f′(0)＝0.但f′(x)＝3x

5、2≥0，则f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．[题组自测]答案：B3．已知

6、a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f

7、′(x)≥0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立．∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4＞0，故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数．在题3条件下，试讨论函数f(x)的单调区间．解：(1)当a＝0时，f(x)＝－x2ex，∴f′(x)＝(－x2－2x)ex，令f′(x)>0，得－20，即当x∈(－∞，

8、－2)或x∈(0，＋∞)时，函数f(x)单调递减．(2)当a≠0时，f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex.令g(x)＝－x2＋(a－2)x＋a.∵Δ＝[(a－2)]2＋4a＝a2＋4>0，∴g(x)有两个零点．[归纳领悟]求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它们在定义域内的一切实根．(3)把函数f(x)的间断点(即f(