导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 课时限

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1、(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共5个小题，每小题5分，满分25分)1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[，2]上的最大值和最小值分别是(　　)A．21，－　　　　　　　　B．1，－C．21,0D．0，－答案：A2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．答案：A3．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的(　　)解析：∵x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞

2、)时f′(x)<0，∴在(－∞，－2)和(0，＋∞)上f(x)是减函数，排除B、C、D.答案：A4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)A．0B．1C．2D．3解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.∴a≤3，故amax＝3.答案：D5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a

3、：∵xf′(x)＋f(x)≤0，又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0，设y＝，则y′＝≤0，故y＝为减函数或常函数．又a0，则af(b)≤bf(a)．答案：A二、填空题(共4个小题，每小题5分，满分20分)6．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．解析：得x>1，得0

4、0，故不存在极值，∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.答案：188．(2011·池州模拟)若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为________．解析：由f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵f(x)既有极大值又有极小值，∴3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有两个不同的解，∴Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，∴a＞2或a＜－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)9．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x)

5、)′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是__________．(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立；对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，)时f″(x)>0恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函数．答案

6、：④三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，即解得∴f(x)＝x3－x2－3x，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－1时，f(x)取极大值.11．已知函数

7、f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：xf′(x)－0＋f(x)·极小值·所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是f＝－.(2)当x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.