椭圆知识点总结及经典习题练习

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1、第二部分圆锥曲线（一）---椭圆知识点一：1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．即：。　注意：若，则动点的轨迹为线段；这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，，轴长长轴长=，短轴长=离心率准线方程焦半径，，注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。知识点二：椭圆的标准方程　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有

2、当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆

3、的顶点。　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，　　③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；（2）；；；（3）；；；规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当

4、椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。可借助右图理解记忆：　　　　显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判

5、断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：　　①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7．如何求

6、解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角()结合起来，建立、之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。（二）椭圆练习题一、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是()(A)2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱

7、形的四个顶点，则椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)或3、椭圆中,F1、F2为左、右焦点,A为短轴一端点,弦AB过左焦点F1,则ABF2的面积为()（A）3（B）（C）（D）44、方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()(A)-165、已知椭圆的离心率e=，则m的值为()(A)3(B)3或(C)(D)或6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的()(A)倍(B)2倍(C)倍(D)倍7、椭圆ax2＋by2＋ab=0(