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《常微分方程模型(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、6.1人口增长模型英国人口学家Malthus(1766-1834)模型假设人口自然增长率r为常数即单位时间内人口的增长量与当时的人口呈正比。模型建立1.指数增长模型人口以几何级数增加！模型分析人口将按指数规律无限增长！人口将始终保持不变！人口将按指数规律减少直至绝灭！人口倍增时间模型求解Malthus模型预测美国人口Malthus模型预测美国人口Malthus模型预测的优缺点优点短期预报比较准确缺点不适合中长期预报原因预报时假设人口增长率r为常数。没有考虑环境对人口增长的制约作用。2.阻滞增长模型假设人口增长率r(t)是t时刻
2、人口x(t)的减函数：其中，xm为考虑到受自然资源和环境条件限制所能容纳的最大人口数量（称最大人口容量）模型假设模型建立模型分析（定性分析）人口将递减并趋向于xm！人口将始终保持xm不变！人口将递增并趋向于xm！无论在哪种情况下，人口最终将趋向于最大人口容量！模型求解人口增长率达到最大值阻滞增长模型预测美国人口阻滞增长模型预测美国人口阻滞增长模型预测的优缺点优点中期预报比较准确缺点理论上很好，实用性不强原因预报时假设固有人口增长率r以及最大人口容量xm为定值。实际上这两个参数（特别是xm）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而
3、变化。前面图中曲线末端分叉就是由于这个原因。6.2药物在体内的分布与排除药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学建立房室模型——药物动力学的基本步骤房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)中心室周边室给药排出模型假设中心室(1)和周边室(2),容积不变药物在房室间转移速率及向体外排除 速率，与该室血药浓度成正比药物从体外进
4、入中心室，在二室间 相互转移,从中心室排出体外模型建立线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立几种常见的给药方式1.快速静脉注射t=0瞬时注射剂量d的药物进入中心室,血药浓度立即为d/V1给药速率f(t)和初始条件2.恒速静脉滴注t>T时,c1(t)和c2(t)按指数规律衰减趋于零药物以恒定速率k进入中心室0Tt££吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量d)先进入吸收室，吸收后再进入中心室吸收室药量x0(t)参数估计各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2以快速静脉注射为例
5、,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法定A,由较小的用最小二乘法定B,参数估计法一进入中心室的药物全部排除参数估计法二%构造非线性拟合函数[TWOEXPS.M]functionE=twoexps(a,x,y)x=x(:);y=y(:);Y=a(1)*exp(-a(3)*x)+a(2)*exp(-a(4)*x);E=sum((y-Y).^2)a0=[10011];options=optimset('fminsearch');options.TolX=0.01;options.Display='off
6、';a=fminsearch(@ps,a0,options,x,y)a=[112.23780.18232.1773]6.3传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2
7、）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型
8、3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的
