一阶常微分方程模型

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1、一阶常微分方程模型（First-OrderOrdinaryDifferentialEquationModel）数学建模（MathematicalModeling）一阶常微分方程模型内容一阶常微分方程建模实例与练习一阶常微分方程模型的解法要求能熟练地建立一阶常微分方程模型重点、难点一阶常微分方程的建模方法一阶常微分方程模型参考文献唐焕文，贺明峰.数学模型引论（第三版）.北京：高等教育出版社，2005年3月姜启源等.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003年8月叶其孝主编.大学生数学建模竞赛辅导教材.长沙：湖南教育出版社，20

2、03年5月刘振航.数学建模.北京：中国人民大学出版社，2004年5月一、一阶常微分方程的建模实例例题1：人口模型问题描述人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题。早在18世纪人们就开始进行人口预报工作。几百年来建立了许多有关人口问题的模型。较简单的模型有Malthus人口模型和Logistic人口模型。下面分别介绍这两个模型。一、一阶常微分方程的建模实例Malthus人口模型第一次出现：1789年，英国人口学家Malthus(1766-1834)根据100年来人口统计资料提出。基本假设：人口增长率r是常数或单位时间内人口增长量与当时的

3、人口数量成正比。常用假设：大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。一、一阶常微分方程的建模实例Malthus人口模型模型构成引入符号N(t)：t时刻人口数量；N(t+∆t)：t+∆t时刻人口数量；r:人口增长率（为常数）；构建平衡关系（等式）考虑t到t+∆t时间内人口的增长量，由Malthus理论，有N(t+∆t)-N(t)=rN(t)∆t一、一阶常微分方程的建模实例Malthus人口模型模型构成构成微分方程在等式N(t+∆t)-N(t)=rN(t)∆t中，令∆t→0，得到微分方程其中N0为t=t0时的人口数。一、一阶常微分方

4、程的建模实例Malthus人口模型模型检验表1：美国的实际人口与指数增长模型计算人口比较年份实际人口预测值误差（%）1790390180053018107207301.4182096010004.21830129013706.21840171018709.418502320256010.318603140350010.818703860478023.8t以10年为单位。一、一阶常微分方程的建模实例Malthus人口模型成功之处与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测缺陷之

5、处不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程产生这些缺陷的主要原因人口增长率r不是常数(逐渐下降)改进Logistic模型一、一阶常微分方程的建模实例Logistic人口模型问题分析人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大r是N(t)的减函数一、一阶常微分方程的建模实例Logistic人口模型1837年，荷兰生物学家Verhulst引入常数Nmax（简记为Nm），用来表示自然资源和环境条件下所能容纳许的最大人口数量。Verhulst将Malthus

6、模型中的假设条件“人口自然增长率为常数”修正为人口自然增长率为从而有如下模型（Logistic模型）一、一阶常微分方程的建模实例Logistic人口模型模型求解一、一阶常微分方程的建模实例Logistic人口模型模型曲线dN/dtt0NmNm/2NmtN(t)0N0Nm/2二、一阶常微分方程的建模练习建模练习1：人的体重变化某人的摄入热量是每天2500大卡（Calorie，卡路里，热量单位），其中1200大卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中，他所消耗的大约是每天每千克体重为16大卡，设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1千克脂肪含

7、热量10000大卡。求此人的体重随时间变化的规律。提示：每天体重的变化=每天净吸收量-每天健身训练的消耗许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明。建模练习2：嫌疑犯问题受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到现场，测得尸体体温为，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为室温在几小时内始终保持，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一

8、直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温