常微分方程的基本概念(I)

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1、第八章常微分方程在力学、物理学及工程技术等领域中为了对客观事物运动的规律性进行研究，往往需要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性质，常常只能得到待求函数的导数或微分的关系式，这种关系式在数学上称之为微分方程。微分方程又分为常微分方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。主要内容8.1常微分方程的基本概念8.2一阶微分方程8.3可降阶的高阶微分方程8.4二阶线性微分方程解的结构8.5二阶常系数线性微分方程8.6一阶差分方程一、问题的提出二、微分方程的基本概念三、小结8.1微分方程的基本概念一、问题的提出解解代入条件后知故开始制动到列车完全停

2、住共需1.微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的基本概念未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。分类1:常微分方程,偏常微分方程.例常微分方程偏微分方程微分方程的阶:指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数.一阶微分方程分类2:一阶微分方程，高阶微分方程高阶(n>2)微分方程若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，且不含这

3、些变量的乘积项，则称该方程为线性方程。否则，称之为非线性方程。分类3:线性与非线性微分方程.一阶线性二阶线性一阶非线性n阶线性微分方程的一般形式:2.微分方程的解:指代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:用来确定任意常数的条件.3.积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线。特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。如过定点的积分曲线;

4、一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.4.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;三、小结