常微分方程基本概念.ppt

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1、2021/7/271一、微分方程第六章　微分方程第一节微分方程的基本概念二、微分方程的解2021/7/272300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容

2、易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.2021/7/273定义1凡含有未知函数导数(或微分)的方程，一、微分方程称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程.本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程.(1)y=kx,k为常数；例如，下列方程都是微分方程(其中y,v,q均为未知函数).(2)(y-2xy)dx+x2dy=0；(3)mv

3、(t)=mg-kv(t)；2021/7/274微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.例如，方程(1)-(3)为一阶微分方程，通常，n阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,,y(n))=0，其中x是自变量，y是未知函数，F(x,y,y,,y(n))是已知函数，而且一定含有y(n).(4)(5)方程(4)-(5)为二阶微分方程.2021/7/275定义2任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.二、微分方程的解若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解)

4、.当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.例如方程y=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是方程的通解；如果求满足条件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C中，得C=0，那么y=x2就是方程y=2x的特解.2021/7/276二阶微分方程的初始条件是即y(x0)=y0与y(x0)=y0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题.求解某初值问题，就是求方程的特解.用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称为初始条件.通常一阶微分方程的初始条件是2021/7/277例1验证函数y=3e–x–xe

5、–x是方程y+2y+y=0的解.解求y=3e–x–xe–x的导数，y=-4e–x+xe-x,y=5e–x-xe-x,将y，y及y代入原方程的左边，(5e–x-xe-x)+2(-4e–x+xe-x)+3e–x–xe–x=0，即函数y=3e–x–xe–x满足原方程，得有所以该函数是所给二阶微分方程的解.2021/7/278得C=2，故所求特解为y=2x2.例2验证方程的通解为y=Cx2(C为任意常数)，并求满足初始条件y

6、x=1=2的特解.解由y=Cx2得y=2Cx,将y及y代入原方程的左、右两边，左边有y=2Cx，所以函数y=Cx2满足原方程.

7、又因为该函数含有一个任意常数，所以y=Cx2是一阶微分方程将初始条件y

8、x=1=2代入通解，2021/7/279例3设一个物体从A点出发作直线运动，在任一时刻的速度大小为运动时间的两倍.求物体运动规律(或称运动方程)解首先建立坐标系：取A点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向(如图)，并设物体在时刻t到达M点，其坐标为s(t).显然，s(t)是时间t的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数，s(t)的导数s(t)就是物体运动的速度v(t).由题意，知v(t)=2t，以及s(0)=0.①②ASOMs(t)2021/7/2710因为v(t)=s

9、(t)，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题积分后，得通解s(t)=t2+C.故初值问题的解为s(t)=t2，也是本题所求的物体的运动方程.再将初始条件②代入通解中，得C=0，2021/7/2711例4已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x)，根据导数的几何意义及本题所给出的条件，y=y2，即积分得又由于已知曲线过点(1,2)，代入上式，得所以，求此曲线的方程为得2021/7/2712一般地，微分方程的每一个解都是一个一元函数y=y(x

10、)，其图形是一条平面曲线，我们称它为微