自由度系统的强迫振动

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1、第三章单自由度系统的强迫振动●本章将主要讨论振动系统由外部持续激励所产生的振动，称为强迫振动。●系统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为:◆简谐激励；●叠加原理：对于线性系统，可以先分别求出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得出总响应。◆非周期性激励。◆周期性激励；3.1对简谐激励的响应如图3.1-1所示的二阶线性有阻尼的弹簧-质量系统。这一系统的运动微分方程为这个单自由度强迫振动微分方程的全部解包括两部分。一是通解x1，二是特解x2，即在小阻尼情况下，通解x1为衰减振动，称为瞬态振动；特解x2表示系统在简谐激励下产生的强迫

2、振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。(3.1-1)图3.1-1微分方程及解的形式3.1对简谐激励的响应微分方程的求解式中X为强迫振动的振幅，为相位差，是两个待定常数。将式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下设特解为(3.1-2)(3.1-3)(3.1-4)3.1对简谐激励的响应微分方程的求解将式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得该方程对于任意时间t都应恒等于零，有由此可得(3.1-5)(3.1-6)3.1对简谐激励的响应微分方程的求解为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与式(3.1-6)的分子

3、分母同除以k，得如下变化形式(3.1-7)式中。(3.1-8)得特解为这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。(3.1-9)3.1对简谐激励的响应可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：(1)在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动，振动的频率与激励频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。(2)强迫振动的振幅X和相位差都只决定于系统本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。(3)强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影响机器及仪表的精度。3.

4、1对简谐激励的响应关于解的讨论可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式(3.1-10)(3.1-11)引入符号：频率比；振动系统零频率挠度；放大因子。3.1对简谐激励的响应关于解的讨论——幅频特性曲线放大因子与频率比的关系：◆当频率比<<1时，放大因子接近于1，即振幅X几乎与激励幅值引起的静变形X0差不多。◆当频率比>>1时，趋于零，振幅可能非常小。◆当激励频率与振动系统频率很接近时，即≈1时，定义为共振，强迫振动的振幅可能很大，比X0大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。图3.1-23.1对简谐激励的响应关于解的讨论——共振由式(3.1-10)可见，在=

5、1时，有实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在=n处，而发生在(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)将式(3.1-10)对ω(或λ)进行微分，令结果等于零,即3.1对简谐激励的响应关于解的讨论——共振据此，放大因子与振幅为（振幅最大时）(3.1-15)(3.1-16)有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。3.1对简谐激励的响应关于解的讨论——相频频特性曲线相位差与频率比的关系：◆在<<1的低频范围内，相位差0，即响应与激励接近于同相位。◆在>>1时，相位差，即在高频范围内，

6、响应与激励接近于反相位。◆在=1，即共振时，相位差/2，这时与阻尼大小无关，这是共振时的一个重要特征。图3.1-33.1对简谐激励的响应关于解的讨论——共振时的响应再研究当激励频率与系统固有频率n相等(即共振)时的响应情况。在方程(3.1-1)中，令c=0，=n，有根据微分方程理论可知：当=n时，微分方程(3.1-17)的特解为(3.1-17)(3.1-18)这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限地增大，如图3.1-4所示。图3.1-43.1对简谐激励的响应例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1)共振现象是工程中需要研究的重要课题

7、，工程中通常取0.75<<1.25的区间为共振区，在共振区内振动都很强烈，会导致机器或结构的过大变形而造成破坏，但同样可以利用振动为人类服务。例3.1-1在一弹簧-质量系统上作用一简谐力，如图3.1-5所示。初始瞬时x(0)=x0，，试求系统的响应。解：系统的振动微分方程为其解为式中A1和A2是由初始条件确定的常数。图3.1-53.1对简谐激励的响应例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1)代入初始条件x(0)=x0，，得把A1和A2值代入解中，得当t=0时，x0==0，上式简化为3.1对简谐激励的响应例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1)在有阻尼的情

8、况下，后一种自由振动在一