微积分PPT数列的极限

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1、第二节数列的极限二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第一章函数与极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整数下标函数三、数列的极限01220010数列(1)(2)(3)有一个共性？1当n无限增大时,与常数a无限接近,尽管接近的方式不同。数列极限的描述性定义：或我们研究数列就是研究它在自变量的动态变化过程中，能否渐趋稳定，或

2、是说，能否无限的接近某一定数？如果能，就叫的极限。给定数列，当无限增大时，无限的接近，则称为趋于无穷时数列的极限。记做：问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.给出数列极限的精确的定义呢？能否给出数列（3）收敛的描述性的定义？记作或此时称该数列（3）的极限为1,讨论数列（3）如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中，在平面上数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证例4证四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无

3、界定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.反证法证:对,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)定理3:收敛数列的保号性.若且时,有3.保号性定理4:如果数列收敛于a,则其任一子列也一定收敛于a.数列的任一子数列******************************4.子列的极限*********************证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是

4、当时,有从而有由此证明*********************例6证明数列不收敛证:数列定理说明：如果一数列有两个子列收敛于不同的数,则此数列一定发散.如数列小结重点:数列极限的定义，收敛数列的性质难点:数列极限定义的理解，证明数列的极限.主要内容：数列及数列极限的定义,几何意义,收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号性、子数列极限思考题1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.方法3.本次课到此结束,再见!1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入1、割圆

5、术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无

6、所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入