2003考研数四真题及解析

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1、Borntowin2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)极限=.(2)=.(3)设，而表示全平面，则=.(4)设均为三阶矩阵，是三阶单位矩阵.已知,,则=.(5)设维向量；为阶单位矩阵，矩阵，，其中的逆矩阵为，则.(6)设随机变量和的相关系数为0.5,,,则=.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)曲线()(A)仅有水平

2、渐近线.(B)仅有铅直渐近线.(C)既有铅直又有水平渐近线.(D)既有铅直又有斜渐近线.(2)设函数，其中在处连续，则是在处可导的()(A)充分必要条件.(B)必要但非充分条件.(C)充分但非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.(3)设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是()Borntowin(A)在处的导数等于零.(B)在处的导数大于零.(C)在处的导数小于零.(D)在处的导数不存在.(4)设矩阵.已知矩阵相似于，则秩与秩之和等于()(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.(5)对于任意二事件和()

3、(A)若，则一定独立.(B)若，则有可能独立.(C)若，则一定独立.(D)若，则一定不独立.(6)设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则()(A)与一定独立.(B)(,)服从二维正态分布.(C)与未必独立.(D)+服从一维正态分布.三、(本题满分8分)设试补充定义使得在上连续.四、(本题满分8分)设具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、(本题满分8分)计算二重积分其中积分区域六、(本题满分9分)设，在内的驻点为问为何值时，最小？并求出最小值.七、(本题满分9分)Borntowin设是第一象限内连接点的一

4、段连续曲线，为该曲线上任意一点，点为在轴上的投影，为坐标原点.若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为，求的表达式.八、(本题满分8分)设某商品从时刻到时刻的销售量为，欲在时将数量为的该商品销售完，试求(1)时的商品剩余量，并确定的值；(2)在时间段上的平均剩余量.九、(本题满分13分)设有向量组(I)：，，和向量组(II)：，，试问：当为何值时，向量组(I)与(II)等价？当为何值时，向量组(I)与(II)不等价？十、(本题满分13分)设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵的伴随矩阵.

5、试求和的值.十一、(本题满分13分)设随机变量的概率密度为是的分布函数.求随机变量的分布函数.十二、(本题满分13分)对于任意二事件和，，称作事件和的相关系数.(1)证明事件和独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明Borntowin2003年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】方法1：，属于型未定式极限，可以考虑利用重要极限求解．首先凑成重要极限形式：方法2：==(注意：)(2)【答案】【分析】对称区间上的定积分，有【详解】==+0

6、=．(3)【答案】【详解】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．==Borntowin(4)【答案】【详解】应先化简，从中确定．，所以==．(5)【答案】-1【详解】这里为阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有==，于是有，即，解得已知，故．(6)【答案】【分析】本题的核心是逆向思维，利用协方差公式．涉及公式：(1)，(2)(3)【详解】方法1：由方差

7、定义的公式和相关系数的定义同理，．所以Borntowin方法2：由数学期望的线性可加性得：再利用，得由方差定义的公式，有同理，再由相关系数的定义得，二、选择题(1)【答案】【分析】按照铅直、水平、斜渐近线三种情况分别考虑：先考虑是否有水平渐近线：，为曲线的一条水平渐近线；若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线：，为曲线的一条斜渐近线；而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点，且，则为曲线的一条垂直渐近线．【详解】1．极限均不存在，故曲线不存在水平渐近线；2．，，所以曲线有斜渐近线．3．在处无定义，且

8、，故Borntowin为铅直渐近线．故曲线既有铅直又有斜渐近线，应选．(2)【答案】【详解】被积函数中含有绝对值，应当作分段函数看待，利用在处左右导数定义讨论即可．，，由于在处可导的充分必要条件是左、右导数相等，所以故应选．(3)【答案】【详解】由函数在点处可微，知函数在点处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得在点处的两个偏导数都等于零．从而有选项正确．(4)【答案】(C)【分析】利用