控制系统数字仿真与cad》第3章连续系统的数字仿真

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1、第三章连续系统的数字仿真本章内容(1)熟悉在数字计算机仿真技术中常用的几种数值积分法，特别是四阶龙格-库塔法；(2)典型环节及其系数矩阵的确定；(3)各连接矩阵的确定；(4)利用MATLAB在四阶龙格-库塔法的基础上，对以状态空间表达式和方框图描述的连续系统进行仿真；用数字计算机来仿真或模拟一个连续控制系统的目的就是求解系统的数学模型。由控制理论知，一个n阶连续系统可以被描述成由n个积分器组成的模拟结构图。因此利用数字计算机来进行连续系统的仿真，从本质上讲就是要在数字计算机上构造出n个数字积分器，也就是让数字

2、计算机进行n次数值积分运算。可见，连续系统数字仿真中的最基本的算法是数值积分算法。3.1数值积分法连续系统通常把数学模型化为状态空间表达式，为了对n阶连续系统在数字计算机上仿真及求解，就要采用数值积分法来求解系统数学模型中的n个一阶微分方程。设n阶连续系统所包含的n个一阶微分方程中的第i个一阶微分方程为（3-1）所谓数值积分法，就是要逐个求出区间［a,b］内若干个离散点a≤t0

3、数值方法将式（3-1）中的微分方程两边进行积分，得即（3-2）通常假设离散点t0,t1,…,tn是等距离的，即tk+1-tk=h,称h为计算步长或步距。当t>t0时，x(t)是未知的，因此式（3-2）右端的积分是求不出的。为了解决这个问题，把积分间隔取得足够小，使得在tk与tk+1之间的f(t,x(t))可以近似看作常数f(tk,x(tk))，这样便得到用矩形公式积分的近似公式或简化为这就是欧拉公式。以x(t0)=x0作为初始值，应用欧拉公式，就可以一步步求出每一时刻tk的xk值，即k=0,x1≈x0+f(t

4、0,x0)hk=1,x2≈x1+f(t1,x1)h┇k=n-1,xn≈xn-1+f(tn-1,xn-1)h这样式(3-1)的解x(t)就求出来了。欧拉法的计算虽然比较简单，但精度较低。图3-1为欧拉法的几何解释。3.1.2梯形法由上可知欧拉公式中的积分是用矩形面积f(tk,xk)h来近似的。图3-2为梯形法的几何意义。由图3-2知，用矩形面积tkabtk+1代替积分，其误差就是图中阴影部分。为了提高精度，现用梯形面积tkactk+1来代替积分，即于是可得梯形法的计算公式为由于上式右边包含未知量xk+1,所以每

5、一步都必须通过迭代求解，每一步迭代的初值xk+1(0)通常采用欧拉公式来计算，因此梯形法每一步迭代公式为（3-3）式中迭代次数R=0,1,2,…3.1.3预估－校正法虽然梯形法比欧拉法精确，但是由于每一步都要进行多次叠代，计算量大，为了简化计算，有时只对式（3-3）进行一次叠代就可以了，因此可得通常称这类方法为预估－校正方法。它首先根据欧拉公式计算出xk+1的预估值xk+1(0)，然后再对它进行校正，以得到更准确的近似值xk+1(1)。3.1.4龙格－库塔法根据泰勒级数将式（3-1）在tk+1=tk+h时刻的

6、解xk+1=x(tk+h)在tk附近展开，有（3-5）可以看出，提高截断误差的阶次，便可提高其精度，但是由于计算各阶导数相当麻烦，所以直接采用泰勒级数公式是不适用的，为了解决提高精度问题，龙格和库塔两人先后提出了间接使用泰勒级数公式的方法，即用函数值f(t,x)的线性组合来代替f(t,x)的导数，然后按泰勒公式确定其中的系数,这样既能避免计算f(t,x)的导数，又可以提高数值计算精度，其方法如下。因故式（3-5）可写成（3-6）为了避免计算式（3-6）中的各阶导数项，可令xk+1由以下多项式表示。（3-7）式

7、中am为待定因子，v为使用f函数值的个数，km满足下列方程（3-8）即：将式（3-7）展开成h的幂级数并与微分方程式（3-1）精确解式（3-6）逐项比较,便可求得式（3-7）和式（3-8）中的系数am,bmj和cm等。现以v=2为例，来说明这些参数的确定方法。设v=2，则有（3-9）将k1和k2在同一点（tk,xk）上用二元函数展开为将k1和k2代入式（3-9）整理后可得（3-10）将上式与式（3-6）逐项进行比较，可得以下关系式若取则于是由式3-9可得(3-11)由于式（3-11）只取到泰勒级数展开式的h2

8、项，故称这种方法为两阶龙格－库塔法，其截断误差为0(h3)。同理当v=4时，仿照上述方法可得如下四阶龙格-库塔公式(3-12)通过上述龙格-库塔法的介绍，可以把以上介绍的几种数值积分法统一起来，它们都是基于在初值附近展开成泰勒级数的原理，所不同的是取泰勒级数多少项。欧拉公式仅取到h项，梯形法与二阶龙格库塔法相同，均取到h2项，四阶龙格库塔法取到h4项。从理论上讲，取得的项数愈多，计算精度愈高，但计算