曲面、曲线及其方程(I)

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1、第五节空间曲面、曲线及其方程一.空间曲面及其方程二.空间曲线及其方程第六节二次曲面的标准方程一.曲面及其方程1.曲面及其方程2.球面及其方程4.二次柱面5.旋转曲面及其方程3.柱面及其方程第五节空间曲面、曲线及其方程1.曲面及其方程例解2.球面及其方程例解3.柱面及其方程柱面的方程问题柱面的方程问题例二次柱面及其方程二次柱面及其方程二次柱面及其方程例解旋转曲面及其方程旋转曲面的方程问题例解例二.空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在坐标面上的投影注意1.空间曲线的一般方程例解例解例解2.空间曲线的参数方程例解例解3.空间

2、曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影yxzoyxzo例解例解例解请注意：一条曲线在一个坐标面上的投影是唯一的。坐标面上的一条曲线可以是无穷多条曲线的投影。半球面与锥面的交线为由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21于是交线C在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.求上半球面　　　　　　和锥面的交线在xoy面上的投影曲线.练习圆柱面)(解:1、椭球面2、抛物面3、双曲面第六节二次曲面的标准方程研究方法是采用平面截割法.二次曲面由x,y,z的二次方程:ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+i

3、z+j=0所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,…,i,j为常数且a,b,不全为零.c,d,e,f几种常见二次曲面.(1)椭球面zoxyO①②oxyOz2用平面z=k去截割(要求

4、k

5、c),得椭圆当

6、k

7、c时,

8、k

9、越大,椭圆越小;当

10、k

11、=c时,椭圆退缩成点.1用平面z=0去截割,得椭圆3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:zoxyO椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别方程可写为球面方程可写为（2）双曲抛物面zxyzxy①(1)②③①②zxyzxy(3)椭圆抛物面:1平面z=k,(k0

12、)截割,截线是平面z=k上的椭圆.k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.zyxo2用平面y=k去截割,截线是抛物线3类似地，用平面x=k去截割,截线是抛物线.zyxo（4）单叶双曲面(a,b,c均大于0)以平行于xy面的平面z=z0截曲面，所得截线方程为椭圆以平行于xz面的平面y=y0截曲面，所得截线方程为双曲线以平行于yz面的平面x=x0截曲面，所得截线方程为：双曲线（5）双叶双曲面(a,b,c均大于0)以平行于xy面的平面z=z0截曲面，所得截线方程为椭圆0zxy以平行于xz面的平面y=y0截曲面，所得截线方程为双曲线以平行

13、于yz面的平面x=x0截曲面，所得截线方程为：双曲线0zxy椭球面、抛物面、双曲面、截割法.（熟知这几个常见曲面的特性）小结思考题方程表示怎样的曲线？思考题解答表示双曲线.思考题解答表示双曲线.练习题练习题答案二、三、12345典型例题例1解由题设条件得解得例2解过已知直线的平面束方程为由题设知由此解得代回平面束方程为例3解即有例4解所求投影直线方程为例5解由于高度不变,故所求旋转曲面方程为双曲抛物面是直纹面.单叶双曲面是直纹面