自由曲线与曲面(I)

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1、第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线14.1概述曲线的分类规则曲线自由曲线随机曲线24.1概述研究分支计算几何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest给出正式定义CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美国Utah大学的一次国际会议上提出34.1概述研究内容对几何外形信息的计算机表示对几何外形信息的分析与综合对几何外形信息的控制与显示44.1概述对形状数学描

2、述的要求？从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性（2）几何不变性对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。54.1概述（3）易于定界（4）统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库标量函数：平面曲线y=f(x)空间曲线y=f(x)z=g(x)矢量函数：平面曲线P(t)=[x(t)y(t)]空间曲线P(t)=[x(t)y(t)z(t)]64.1概述从形状表示与设计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达7自由曲线曲面的发展过程目标：美

3、观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法8第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线94.2参数曲线基础曲线的表示形式

4、非参数表示显式表示隐式表示10显式或隐式表示存在下述问题：1）与坐标轴相关；2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；3)不便于计算机编程。4.2参数曲线基础114.2参数曲线基础参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]124.2参数曲线基础参数矢量表示形式直线段的参数表示圆的参数表示13参数表示的优点：1）以满足几何不变性的要求。2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而

5、中断计算。4.2参数曲线基础14（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。4.2参数曲线基础15曲线间连接的光滑度的度量有两种：参数连续性：几何连续性：4.2参数曲线基础164.2参数曲线基础参数连续性传统的、严格的连续性称曲线P=P(t)在处n阶参数连续，如果它在处n阶左右导数存在，并且满足记号174.2参数曲线基础几何连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续称曲线P=P(t)在处0阶几何连续，如果它在处位置连续，即记

6、为1阶几何连续称曲线P=P(t)在处1阶几何连续，如果它在该处,并且切矢量方向连续记为184.2参数曲线基础2阶几何连续称曲线P=P(t)在处2阶几何连续，如果它在处（1）（2）副法矢量方向连续（3）曲率相等密切面从切面法平面TBN主法线19我们已经看到，连续保证连续，连续能保证连续，但反过来不行。也就是说连续的条件比连续的条件要苛刻。4.2参数曲线基础20第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线214.3曲线曲面拟合方法已知条件一系列有序的离散数据点型值点控制点边界

7、条件连续性要求224.3曲线曲面拟合方法生成方法插值点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值逼近提供的是存在误差的实验数据最小二乘法、回归分析拟合提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点Bezier曲线、B样条曲线等23第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线244.4参数多项式曲线为什么采用参数多项式曲线表示最简单理论和应用最成熟定义--n次多项