曲线积分有曲面积分

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1、第三节格林公式及其应用一.格林公式二.平面上曲线积分与路径无关的条件三.二元函数的全微分求积xyoABL一.对弧长的曲线积分第一类曲线积分二、对坐标的曲线积分第二类曲线积分三、两种曲线积分的关系复习一.格林公式平面单连通与复连通区域的概念:否则称为复连通区域.单连通（无洞）复连通（有洞）当你沿这个方向行走时,若平面区域内任一闭曲线所围区域都属于则称为单连通区域。平面区域的边界曲线的正向规定为:内靠近你的那一部分区域总在你的左侧.第三节格林公式及其应用定理1分析:只须证:设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数在上有一阶连续偏导数,则有格林(Green)公式其中是的取正向的整个边界

2、曲线。因超过两个。所以证（1）的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点不假定区域即区域既是X--型又是Y--型。所以证毕.若区域（2）的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点多于两个.解由格林公式得例1计算其中是由曲线及所围区域的正向边界曲线。画草图,例2计算其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭区域.解证由格林公式得边界.由格林公式得解例3设是任意一条取正向的闭曲线,证明例4计算,其中为椭圆的正向解构造成封闭曲线,由格林公式知,例5计算其中是由点的上半圆周到点添加辅助线解当时,（1）若由格林公式得例6计算其中为一条无重点分段光滑且不过原点的连续曲线，的

3、方向为逆时针方向.设所围区域为（2）若添加辅助线,取顺时针方向.,由格林公式得设所围区域为与特别地，格林公式中,则所以例7.求椭圆所围图形的面积。解若取二.平面上曲线积分与路径无关的条件恒有成立，即若对开区域内任意两点以及内从的任意两条曲线点到点内与路径无关.在则称曲线积分曲线积分在内与路径无关其中为内任意闭曲线.等价于定理2导数,证有即曲线积分与路径无关.反证法.假设在点处不妨设存在内恒有则矛盾.证毕在单连通区域设函数内具有一阶连续偏在内恒成立。若在内恒有则对内任意闭曲线在以为圆心,以为半径的圆域在内与路径无关的充要条件是则曲线积分解在整个平面区域内曲线积分与路径无关,例

4、8计算为过点其中三点所决定的圆周上的一段弧,为起点,为终点.取折线作为积分路径,例9计算解所以曲线积分与路径无关。在整个面内成立。取折线三.二元函数的全微分求积对可微函数其全微分为问题:如何求出这个函数定理3则为某一函数的全微分的充要条件是且导数，在单连通区域内有一阶连续偏设函数其中为内一定点。如何判断它是某个函数的全微分?对证必要性设存在某u(x,y),使得则从而这个积分写成当起点给定时,这个积分的值由终点M(x,y)所确定.因此它是x,y的函数,记为下面证明由偏导数的定义充分性设条件在G内成立,为起点M(x,y)为终点的曲线积分与路径无关.于是可把由定理2知,在区域G内

5、以从而由定积分中值定理上式两边除以x,并令x0取极限,可得同理可证因函数P(x,y),Q(x,y)都是连续的,故函数u(x,y)可微分,并且证毕.是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数。解所以,是某个函数的全微分。例10验证:在整个面内,在整个面内成立。注.若积分路线的起点不同,所得结果可能差一常数.例11并求出一个这样的函数.解令因此在右半平面内,是某个函数的全微分.在右半平面内恒成立.就有在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分,验证取积分路线如图所示