matlab插值与曲线拟合实验报告 湖南大学

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1、湖南大学电气与信息工程学院《数值计算》课程上机实验报告姓名：班级：学号：日期：指导老师：本次实验题号：第次实验1)实验目的：1)用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值。2)了解matlab实现曲线拟合方法的实际应用。二.实验内容：1)插值算法的应用：题目：用拉格朗日插值程序，分段线形插值函数分别研究f（X）的数据表，计算f(0.472)X0.460.470.480.49Y0.48465550.49375420.50274980.51166832)曲线拟合方法的实际应用用电压V=10V的电池给电容器充

2、电，电容器上t时刻的电压v(t)=V-(V-V0)e^(-t/T)，其中V0是电容器的初始电压，T是充电常数。实验测量了一组数据如下，请根据数据表确定V0和T的大小。t0.51234579V(t)6.366.487.268.228.668.999.439.63三.算法介绍或方法基础1.1拉格朗日插值法1.1.1算法理论对某个多项式函数，已知有给定的k+1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其

3、中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。对于给定的个点：，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为1，而在其他点取值都是0的多项式。这样，多项式在点取值为，而在其他点取值都是0。而多项式就可以满足在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：它在点取值为：。由于已经假定两两互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：这就是拉格朗日基本多项式。拉格朗日插值

4、法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。1.2.2算法描述对于已给定的点和待估计的点的横坐标x，如上述理论，将其值代入计算出插值基函数的值，然后根据公式

5、：计算出纵坐标的估计值，由此完成对该点的插值过程，其中k为该点插值的阶数。1.2线性分段插值1.2.1算法理论首先介绍线型插值，假设我们已知坐标与要得到区间内某一位置 x 在直线上的值。根据图中所示，我们得到由于 x 值已知，所以可以从公式得到y的值已知求的过程与以上过程相同，只是与要进行交换。线性插值经常用于已知函数 在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误差定义为：其中 p 表示上面定义的线性插值多项式根据罗尔定理，我们可以证明：如果 f 有二阶连续导数，那么误差范围是正如所看到的，函数

6、上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。而分段线型插值就是把需要插值的区间依已给定的点分为k-1段，每段利用其端点进行线型插值。1.2.2算法描述利用已给定的点对插值区间分为段，将每段的端点与作为数据点利用公式在所构成的区间进行线性插值。1.3曲线拟合1.3.1算法理论令待求的未知量为，它们可由个直接测量通过下列函数关系求得：若为真值，由上述已知函数求出真值，若其测量值为，则对应的误差为最小二乘法可定量表示为：将拟合函

7、数取线性函数是一种简单的数据拟合方法，利用数据点确定线性拟合函数称为对数据的线性拟合。对于线性拟合问题，需要求函数的最小值点，该问题的几何背景是寻求一条直线，使该直线与数据表所确定的平面散点的纵向距离的平方和最小。由函数对两个变量求导得：其余等于零，得正规方程组也可将其矩阵形式写出来即：解得的值，将其代入即可得到拟合线性函数。为了确定数据拟合问题，选用幂函数作为函数类，则这就是多项式拟合函数.为了确定拟合函数的系数，需要求解正规方程组也可以用矩阵形式表示为解得最优解即可，将其代入即可得到拟合多项式。若用指

8、数函数对数据进行拟合，则使用线性化方法，对等式两边求对数得：令得对和进行线性拟合求出B，C,由此可进一步求出A。1.3.2算法描述抛物线拟合数据,令然后对和进行线性拟合，求出参数a，b；用指数曲线拟合数据，先对纵坐标数据取对数，然后如上述理论对和进行线性拟合，进一步求出参数a，b。四.程序1)Lagrange插值程序：functionf=Language(x,y,x0)%求已知数据点的拉格朗日插值多项式%已知数据点的x坐标向量