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时间：2019-08-04
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1、§9.4函数项级数的和函数的性质一、连续性⒈定理4.1(函数列的极限函数的连续性)定理4.2(函数项级数的和函数的连续性)分析：定理4.1的证明：由于定理得证.同理可证定理4.2.例1(1)证明：(2)解：所以从而，例2.内闭一致收敛证明：证明：由于2.Dini定理：证明：若不然，矛盾！定理′定理〃（级数形式）二、逐项积分1.函数列：定理4.3极限与积分交换证明：由定理4.1知，于是有，定理4.3与定理4.3的连续条件改为可积，结论仍然成立.注：定理4.4基本要求:一致收敛+可积可逐项积分2.级数形式：例
2、3解:三、逐项可导1.函数列形式：定理4.5(2)⑶⑴证明：①由⑶，由⑵，由⑵，则有②由积分换序定理：定理4.5表明：在一致收敛的条件下，极限运算与求导运算的顺序可以交换.定理4.6⒈⒉2.函数项级数形式：⒊即有：逐项可导注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导．例4解：同理：则由M判别法知，例5.证明：⒈⒉所以不能直接用定理4.2.内闭一致收敛其他阶导数的连续性类似可证.四、小结3.内闭一致收敛性.1.一致收敛的函数列的极限函数的积分性质；2.一致收敛
3、的函数项级数的和函数的积分性质；作业习题10.51(1)(3),2,4,5,6,8(1)
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